Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Loi binomiale

Ce cours est un rappel du cours de première.

Définitions

Une variable aléatoire réelle $X$ sur l'univers $Ω$ d'une expérience aléatoire est une application de $Ω$ sur $\ℝ$.

Soit $x$ une valeur prise par la variable aléatoire $X$.
L'événement "$X=x$" est l'ensemble des événements $e_j$ de $Ω$ tels que $X(e_j)=x$.
L'événement "$X≤ x$" est l'ensemble des événements $e_j$ de $Ω$ tels que $X(e_j)≤ x$.

La loi de probabilité de X est la probabilité qui, à toute valeur $x$ prise par X, associe la probabilité $p(X=x)$.

La variable aléatoire , de valeurs $x_i$, de probabilités $p_i$ pour $i$ entre 1 et $n$, admet pour espérance le réel, noté $E(X)$, défini par $E(X)=p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n$.
$E(X)$ représente la valeur moyenne de X sur une infinité d'expériences.

Exemple

Jean lance un dé et propose à Marc le jeu suivant: Marc mise 2 euros. Il récupère sa mise augmentée de 2 euros si le 5 sort. Il récupère sa mise augmentée de 3 euros si le 6 sort.
Soit X la variable aléatoire égale au gain de Marc.

  1. Quelles sont les valeurs prises par X?
  2. Traduire par une phrase l'événement "$X=-2$".
  3. Le dé de Jean, truqué, vérifie:
    $p(1)=0,12$, $p(2)=0,16$, $p(3)=0,18$, $p(4)=0,1$, $p(5)=0,33$ et $p(6)=0,11$.
    Déterminer la loi de X.
    Déterminer la valeur de $p(X≥2)$.
  4. Calculer l'espérance $E(X)$. Interpréter la valeur trouvée.
Solution...
Corrigé
  1. X prend les valeurs $-2$, $2$ et $3$.

  2. L'événement "$X=-2$" signifie qu'un nombre inférieur ou égal à 4 est sorti.

  3. La loi de X est définie par:
    $p(X=3)=p(6)=0,11$, $p(X=2)=p(5)=0,33$ et $p(X=-2)=p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=0,56$.
    Remarquons que $p(X≥2)=p(X=2)+p(X=3)=0,44$.

  4. $E(X)=0,56×(-2)+0,33×2+0,11×3=-0,13$.
    Sur une infinité de parties, Marc perd en moyenne 0,13 euros par partie.
Réduire...

Définitions

Une épreuve de Bernouilli de paramètre $p$ est une expérience ayant 2 issues, appelées "succés" et "échec" telle que la probabilité de "succés" vaut $p$.

Un schéma de Bernouilli de paramètres n et p est l'expérience constituant à répéter $n$ fois de manière indépendante une épreuve de Bernouilli de paramètre $p$.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces $n$ épreuves est appelée loi binomiale de paramètres n et p.
On la note: $B (n,p)$.
Un schéma de Bernouilli se représente à l'aide d'un arbre pondéré
où les noeuds ont chacun 2 branches
et où les mêmes probabilités $p$ et $1-p$ sont répétées sur les couples de branches.


Soit $n∈\ℕ^{*}$ et $k∈\ℕ$ avec $0≤ k≤ n$.
Le coefficient binomial $(\table n; k)$ est le nombre de chemins réalisant $k$ succès pour $n$ répétitions sur l'arbre d'un schéma de Bernouilli.
Par convention: $(\table 0; 0)=1$

On obtient directement les coefficients binomiaux avec les calculatrices:
Casio: OPTN PROB n nCr k
TI: MATH PRB n Combinaison k

Propriété

Si $X=B (n,p)$, et $0≤ k≤ n$, alors $p(X=k)=(\table n; k)\,p^k(1-p)^{n-k}$ .

En pratique, on obtient directement les valeurs de $p(X=k)$ avec les calculatrices:
Casio: STAT DIST BinomialPD($k,n,p$)
TI: 2nd distrib binomFdp($n,p,k$)

De même pour les valeurs de $p(X≤k)$:
Casio: STAT DIST BinomialCD($k,n,p$)
TI: 2nd distrib binomFrép($n,p,k$)

Propriété

Si $X=B (n,p)$, alors $X$ admet pour espérance $E=np$.

Exemple

Une usine fabrique des composants électriques.
On prélève au hasard 3 composants dans la production de la journée.
On suppose que les prélèvements sont indépendants l'un de l'autre, et que la probabilité qu'un composant soit conforme au cahier des charges est égale à 0,84.

  1. Représenter l'expérience par un arbre pondéré.
  2. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de composants conformes parmi les 3.
    Que dire de X?
  3. Donner la formule donnant la probabilité qu'exactement 2 composants soient acceptés, puis déterminer la valeur de cette probabilité (arrondie à 0,0001 près).
  4. Déterminer la probabilité (arrondie à 0,0001 près) qu'au moins 1 composant soit accepté.
  5. Calculer l'espérance $E(X)$. Interpréter la valeur trouvée.
Solution...
Corrigé

  1. arbre pondéré: fig1
  2. Les 3 prélèvements sont indépendants, la probabilité de réussite vaut 0,84.
    Par conséquent X est une binomiale de paramètres 3 et 0,84.
    Soit: $X=B (\,3\,;\,0,84\,)$
  3. On cherche $p(X=2)$. On a: $p(X=2)=(\table 3; 2)\,0,84^2(1-0,84)^{3-2}=3×0,84^2×0,16≈0,3387$.
    A la calculatrice, on peut obtenir directement: $p(X=2)≈0,3387$.

  4. On cherche $p(X≥1)$.
    Or $p(X≥1)=1-p(X\text"<"1)=1-p(X=0)$.
    Et à la calculatrice, on obtient: $p(X=0)≈0,0041$.
    Donc $p(X≥1)≈0,9959$.
  5. Comme $X=B (\,3\,;\,0,84\,)$, on a: $E(X)=3×0,84=2,52$.
    Sur une infinité de prélèvements de 3 composants, le nombre moyen de composants acceptés par prélèvement est égal à 2,52.
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