Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Continuité

Définition

Une fonction est continue quand le tracé de sa courbe représentative peut se faire sans lever le crayon.

Exemple

La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $\[0;2\]$.
La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $\]2;4\]$.
Mais la fonction $f$ n'est pas continue sur l'intervalle $\[0;4\]$ car elle est discontinue en 2!

fig1

Propriété

Les fonctions dérivables sur un intervalle sont continues sur cet intervalle.

Propriété

Par convention, dans un tableau de variation, les flèches indiquent évidemment que la fonction est strictement monotone, mais aussi qu'elle est continue.

Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est une fonction continue sur $\[a;b\]$,
Si $k$ est un nombre compris entre $f(a)$ et $f(b)$,
Alors l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution sur $\[a;b\]$.

Exemple

La fonction $f$ vérifie le tableau de variation ci-dessous.
Montrer que l'équation $f(x)=12$ admet au moins une solution sur $\[-3;7\]$.

fig2
Solution...
Corrigé

D'après le tableau de variation ci-dessus, la fonction $f$ est continue sur $\[-3;7\]$.
Or 12 est un nombre compris entre $f(-3)=25$ et $f(7)=8$,
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=12$ admet au moins une solution sur $\[-3;7\]$.
En fait, grace au théorème de la bijection (ci-dessous), nous pouvons démontrer que l'équation $f(x)=12$ admet exactement 3 solutions sur $\[-3;7\]$.

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Théorème de la bijection

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $\[a;b\]$,
Si $k$ est un nombre compris entre $f(a)$ et $f(b)$,
Alors l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur $\[a;b\]$.

Remarque.
Ce théorème s'appelle aussi:
"corollaire du théorème des valeurs intermédiaires dans le cas de stricte monotonie".

Exemple

La fonction $f$ vérifie le tableau de variation ci-dessous.
Montrer que l'équation $f(x)=12$ admet exactement 2 solutions, la première entre -2 et 2, la seconde entre 2 et 10.

fig3
Solution...
Corrigé

D'après le tableau de variation ci-dessus, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur $\[-2;2\]$.
Or 12 est un nombre compris entre $f(-2)=20$ et $f(2)=9$,
Donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=12$ admet une unique solution $c_1$ sur $\[-2;2\]$.
De même, nous pouvons démontrer que l'équation $f(x)=12$ admet admet une unique solution $c_2$ sur $\[2;10\]$.
Enfin, comme 13 est le minimum de $f$ sur $\[10;17\]$, l'équation $f(x)=12$ n'admet pas de solution sur $\[10;17\]$.
Il est clair que: $-2$<$ c_1$<$2$<$ c_2$<$10$. L'équation $f(x)=12$ admet donc exactement 2 solutions, la première entre -2 et 2, la seconde entre 2 et 10.

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