Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Convexité

Définition

Une fonction dérivable sur un intervalle I est convexe si et seulement si
sa courbe est entièrement située au dessus de chacune de ses tangentes.
Une fonction dérivable sur un intervalle I est concave si et seulement si
sa courbe est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.

Exemple

La tangente $t$ à $\C_f$ en 2 traverse $\C_f$.
Déterminer graphiquement la convexité de la fonction $f$ définie sur [-1;5].

Solution...
Corrigé

Il est évident que $f$ est concave sur [-1;2], et convexe sur [2;5].

Remarquons que la convexité n'a aucun rapport avec le sens de variation de $f$.

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fig1

Propriété

Fonctions vues en première
La fonction $x^2$ est convexe sur $\R$.
La fonction ${1}/{x}$ est convexe sur $]0;+∞[$, mais elle est concave sur $]-∞;0[$ .
La fonction $√x$ est concave sur $[0;+∞[$.

Fonctions vues en terminale
La fonction $e^x$ est convexe sur $\R$.
La fonction $\ln x$ est concave sur $]0;+∞[$.

fig2

Propriété

Soit I un intervalle.

$f$ est convexe sur I si et seulement si $-f$ est concave sur I.

Milieu d'une corde

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle I.

$f$ est convexe sur I si et seulement si , pour tous $a$ et $b$ de I, $f({a+b}/{2})≤{f(a)+f(b)}/{2}$.

fig3
Exemple

Soit $f$ une fonction continue et concave sur $[0;10]$.
Montrer que $2×f(4,5)≥f(2)+f(7)$.

Solution...
Corrigé

La fonction $f$ étant concave sur $[0;10]$, son opposée $-f$ est donc convexe sur $[0;10]$.
Par conséquent , pour tous $a$ et $b$ de $[0;10]$, $-f({a+b}/{2})≤{-f(a)+(-f(b))}/{2}$.
En particulier pour $a=2$ et $b=7$.
On obtient alors: $-f({2+7}/{2})≤{-f(2)-f(7)}/{2}$.
Donc: $2×(-f(4,5))≤-f(2)-f(7)$.
Et donc: $2×f(4,5)≥f(2)+f(7)$.

Réduire...

Propriété

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I.

$f$ est convexe sur I si et seulement si $f\,'$ est croissante sur I.
$f$ est concave sur I si et seulement si $f\,'$ est décroissante sur I.

Propriété

Soit $f$ une fonction dérivable deux fois sur un intervalle $]a;b[$.

Si $f"≥0$ sur $]a;b[$, alors $f$ est convexe sur sur $]a;b[$.
Si $f"≤0$ sur $]a;b[$, alors $f$ est concave sur sur $]a;b[$.
Cette propriété est valable si $a=-∞$ ou $b=+∞$.

Exemple

Soit $f$ définie sur $\ℝ$ par $(fx)=x^3-1.5x^2$.
Etudier la convexité de la fonction $f$ .
Soit $t$ la tangente à $\C_f$ en 2. Donner la position de $t$ par rapport à $\C_f$ sur l'intervalle $[0,5;+∞[$.

Solution...
Corrigé

$f\,'(x)=3x^2-3x$.
$f"(x)=6x-3$.
$6x-3$ est une fonction affine qui s'annule pour $x=0,5$.

De plus, son coefficient directeur 6 est strictement positif.
D'où le tableau de signes de $f"$ ci-contre.

fig4

Par conséquent, $f$ est concave sur $]-∞;0,5]$ et convexe sur $[0,5;+∞[$.

Comme $f$ est convexe sur $[0,5;+∞[$, $\C_f$ y est au dessus de ses tangentes.
En particulier, comme 2 est dans l'intervalle $[0,5;+∞[$, et que $t$ la tangente à $\C_f$ en 2, on en déduit que $\C_f$ est au dessus de $t$ sur l'intervalle $[0,5;+∞[$.

Réduire...

Définition

Le point A est un point d'inflexion de la courbe $\C_f$ lorsque $\C_f$ y traverse sa tangente $t$.

fig5

Propriété

Soit $f$ une fonction dérivable deux fois sur un intervalle $]a;b[$.

Si $f"$ s'annule en $c$ en changeant de signe, alors le point $A(c;f(c))$ est un point d'inflexion de $\C_f$.

Exemple

Soit $f$ définie sur $\ℝ$ par $(fx)=x^3$.
Montrer que $\C_f$ admet un point d'inflexion en 0.

Solution...

$f\,'(x)=3x^2$.
$f"(x)=6x$.

$6x$ est une fonction linéaire qui s'annule pour $x=0$.
Son coefficient directeur 6 est strictement positif.
D'où le tableau de signes de $f"$ ci-contre.

fig6

$f"$ s'annule en $0$ en changeant de signe, par conséquent, $\C_f$ admet un point d'inflexion en $0$.

Réduire...

A quoi peut servir la convexité d'une fonction $f$?
La convexité permet de déterminer la position de $\C_f$ par rapport à ses tangentes.
Le changement de convexité permet de repérer les points d'inflexion de $\C_f$.