Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Lois à densité

Remarque: dans tout ce qui suit, les repères sont supposés orthogonaux.

Définition

Une variable aléatoire définie sur l'univers $Ω$ d'une expérience aléatoire est dite continue lorsqu'elle peut prendre comme valeurs tous les nombres réels d'un intervalle I.

Exemple

Jean attend son bus. Il est certain que son bus arrivera dans moins de 10 minutes.
Soit X son temps d'attente (en minutes).

La variable aléatoire X est continue car elle peut prendre comme valeurs tous les nombres réels de l'intervalle [0;10[.
Par exemple, $X=1,3$ signifie que le bus arrive au bout de 1 minute et 18 secondes (car $0,3×60=18$).

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I.

Si

  • $f$ est continue
  • $f$ est positive

alors $f$ est une densité si et seulement si

  • l'aire située entre $C_f$ et l'axe des abscisses vaut 1

Exemple

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=0,003x^2$ sur $[0;10]$.
Montrer que $f$ est une densité.

Solution...
Corrigé

La fonction $f$ est dérivable, et par là, $f$ est continue.
De plus, la fonction $f$ est positive (c'est le produit d'un nombre positif par un carré).
Par conséquent, $f$ étant positive et continue, l'aire située entre $C_f$ et l'axe des abscisses vaut: $$A=∫_0^{10} f(x)dx$$
Or: $$∫_0^{10} f(x)dx=∫_0^{10} 0,003x^2dx=[0,003{x^3}/{3}]_0^{10}=0,003{10^3}/{3}-0,003{0^3}/{3}=1$$
Donc: $$A=1$$
Finalement, les trois conditions suffisantes sont vérifiées, et par là, $f$ est bien une densité.

Réduire...

Définition

Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans l'intervalle I.
X suit la loi de densité $f$ si
pour tout intervalle J inclus dans I, $p(X∈J)$ est l'aire du domaine D,
$$D=\{M(x;y) \text"  telque  " x∈J \text"  et  " 0≤y≤f(x)\}$$
(D est le domaine situé entre $C_f$ et l'axe des abscisses pour $x$ dans J).

Propriété

Soit X une variable aléatoire continue de densité $f$ à valeurs dans l'intervalle I.
Pour tous réels $a$ et $b$ de I avec $a≤b$, on a: $$p(a≤X≤b)=∫_a^b f(x)dx$$.

Remarques: $p(X=a)=0$
   $$p(a≤X≤b)=p(a<X≤b)=p(a≤X<b)=p(a<X<b)$$
   On prolonge souvent $f$ à $\ℝ$ tout entier en la supposant nulle ailleurs qu'en I.

Exemple

Chaque jour, Jean prend le bus pour se rendre au lycée.
Il a constaté que son temps d'attente X (en minutes) suit une loi de densité $f$ définie par $f(x)=0,003x^2$ sur $[0;10]$.
Aujourd'hui, Jean arrive à l'arrêt de bus.
1. Quelle est la probabilité qu'il attende moins de 7 minutes.
2. Quelle est la probabilité que son temps d'attente soit compris entre 7 et 9 minutes.

Solution...
Corrigé

1. La probabilité cherché est: $$p(0≤X≤7)=∫_0^7 f(x)dx$$.
Soit: $$p(0≤X≤7)=∫_0^{7} 0,003x^2dx=[0,003{x^3}/{3}]_0^{7}=0,003{7^3}/{3}-0,003{0^3}/{3}=0,343$$.

2. La probabilité cherché est: $$p(7≤X≤9)=∫_7^9 f(x)dx$$.
Soit: $$p(7≤X≤9)=∫_7^{9} 0,003x^2dx=[0,003{x^3}/{3}]_7^{9}=0,003{9^3}/{3}-0,003{7^3}/{3}=0,386$$.

La densité $f$ est représentée ci-dessous.
Les aires des parties hachurées (en unités d'aires) correspondent aux probabilités cherchées.

fig1
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Définition

L' espérance d'une variable aléatoire continue X à valeurs dans l'intervalle $[a;b]$ et de densité $f$ est définie par l'égalité $$E(X)=∫_a^b x.f(x)dx$$.

Exemple

Reprenez l'énoncé de l'exemple précédent et déterminez l'espérance de X.
Interprétez concrètement le nombre trouvé.

Solution...
Corrigé

$$E(X)=∫_0^{10} x.f(x)dx=∫_0^{10} x.0,003x^2dx=∫_0^{10} 0,003x^3dx=[0,003{x^4}/{4}]_0^{10}$$.
Soit: $$E(X)=0,003{10^4}/{4}-0,003{0^4}/{4}=7,5$$.
Sur un très grand nombre de jours, le temps d'attente moyen de Jean tend certainement vers 7 minutes et 30 secondes.

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Définition

Soit $a$ et $b$ deux réels avec $a<b$.
La variable aléatoire continue X suit une loi uniforme sur l'intervalle $[a;b]$ si elle admet une densité $f$ définie sur $ℝ$ par:

  • $f(x)={1}/{b-a}$ si $x∈[a;b]$
  • $f(x)=0$ si $x∉[a;b]$
fig2

Propriété

L' espérance d'une variable aléatoire uniforme X à valeurs dans l'intervalle $[a;b]$ est définie par l'égalité $$E(X)={a+b}/{2}$$.

Exemple

On choisit au hasard un réel de l'intervalle [13;23].

  1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui donne la valeur du nombre choisi?
  2. Quelle est la probabilité que ce nombre soit entre 15 et 20?
  3. Représentez $f$ et faire apparaître sur le dessin la valeur trouvée au 2.
  4. Sur un très grand nombre d'expériences, vers quel réel tend, en moyenne, la valeur du nombre choisi ?
Solution...
Corrigé

  1. X suit une loi uniforme sur [13;23], de densité $f(x)={1}/{23-13}={1}/{10}=0,1$.
  2. La probabilité cherché est: $$p(15≤X≤20)=∫_{15}^{20} f(x)dx$$.
    Soit: $$p(15≤X≤20)=∫_{15}^{20} 0,1dx=[0,1x]_{15}^{20}=0,1×20-0,1×15=0,1×(20-15)=0,1×5=0,5$$.
  3. $f$ est représentée ci-contre.

    La probabilité trouvée au 2. est l'aire (en unités d'aires) du rectangle hachuré de côtés 5 et 0,1.
    fig3
  4. Sur un très grand nombre d'expériences, la valeur moyenne du nombre choisi tend vers $E(x)$, c'est à dire vers ${13+23}/{2}=18$.
Réduire...

Définition

La variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite
si elle admet pour densité la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)={1}/{√{2 π}}e^{-{x^2}/{2}}$.
On note: X suit la loi $$N(0,1)$$.

Propriété

La densité $f$ de la loi normale centrée réduite
est représentée par une "courbe en cloche"
symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
(dans un repère orthogonal).

fig4

Propriété

Si X suit la loi $N(0,1)$ de densité $f$,
alors $$p(-1,96≤X≤1,96)=∫_{-1,96}^{1,96} f(x)dx≈0,95$$ .

fig5

Définition

Soit $μ$ (mu) et $σ$ (sigma) deux réels avec $σ>0$.
La variable aléatoire continue X suit une loi normale d'espérance $μ$ et d'écart-type $σ$
si la variable aléatoire continue ${X-μ}/{σ}$ suit la loi normale centrée réduite.
On note: X suit la loi $$N(μ,σ^2)$$.

Propriété

La loi normale centrée réduite est une loi normale d'espérance 0 et d'écart-type 1.

Propriété

Si X suit la loi $N(μ,σ^2)$ et a pour densité $f$,
alors $\C_f$ est une "courbe en cloche"
symétrique par rapport à la droite d'équation $x=μ$.

Par conséquent, l'aire en vert est égale à celle en rouge. Et donc, pour tout réel $a$ positif,
on a: $p(X\text"<"μ-a)=p(μ+a\text"<"X)$.

fig6

Or, la somme de l'aire verte, de l'aire rouge et de celle hachurée en noir vaut 1.
Soit: $p(X\text"<"μ-a)+p(μ+a\text"<"X)+p(μ-a≤X≤μ+a)=1$.
Par conséquent, on obtient: $$p(X\text"<"μ-a)=p(μ+a\text"<"X)={1-p(μ-a≤X≤μ+a)}/{2}$$.

Pour des raisons similaires, on a:
$$p(X≤μ+a)=0,5+p(μ≤X≤μ+a)$$ et $$p(μ-a≤X)=p(μ-a≤X≤μ)+0,5$$.

Propriété

Soit $X=N(μ,σ^2)$ de densité $f$.
Plus l'écart-type $σ$ est grand,
plus les valeurs prises par X sont dispersées autour de l'espérance $μ$,
et plus la courbe $\C_f$ est aplatie.

fig7
Cela se confirme par la constance des 3 valeurs (arrondies par défaut) des probabilités qui suivent:
$$p(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0,68$$
$$p(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0,95$$
$$p(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0,997$$
fig8

Remarque pratique
Si X suit la loi $N(μ,σ^2)$, alors tout calcul du type $p(a≤X≤b)$ se fait à la calculatrice.
Pour les TI: 2de DISTR, puis: normalFRép($a,b,μ,σ$) ou bien: normalcdf($a,b,μ,σ$)
Pour les Casio: STAT DIST NORM, puis: Ncd( $a,b,σ,μ$)
ou bien encore: Ncd avec Data: var, Lower: $a$, Upper: $b$, $σ$: $σ$, $μ$: $μ$ (suivant modèle)

Pour calculer $p(a≤X)$, faire comme ci-dessus avec $b=10^{99}$.

Pour calculer $p(X≤b)$, faire comme ci-dessus avec $a=-10^{99}$.

Réciproquement:
Pour calculer directement $b$ tel que $p(X≤b)=k$, où $k$ est un nombre donné,
avec une TI: 2de DISTR, puis: FracNormale($k,μ,σ$) ou bien: invNorm($k,μ,σ$)
avec une Casio: STAT DIST NORM, puis: InvN $Left,k,σ,μ$.
Notez qu'on peut aussi procéder par essais successifs!

Exemple

Soit $X=N(17,3^2)$ . Déterminons $p(20≤X)$ avec calculatrice puis sans calculatrice.

A la calculatrice, on obtient: $p(20≤X)≈p(20≤X≤10^{99})≈0,16$.
Retrouvons ce résultat sans la calculatrice!
Pour X=$N(μ,σ^2)$, on sait que, si $a$ est strictement positif, $p(μ+a≤X)={1-p(μ-a≤X≤μ+a)}/{2}$.
En appliquant ceci pour $a=σ$, on obtient: $p(μ+σ≤X)={1-p(μ-σ≤X≤μ+σ)}/{2}$.
Soit: $p(μ+σ≤X)≈{1-0,68}/{2}≈0,16$.
Soit, pour la loi donnée: $p(17+3≤X)≈0,16$. Et finalement: $p(20≤X)≈0,16$.

Exemple

Dans ce problème, toute valeur sera arrondie à 0,001 près, sauf indication contraire.

Une usine produit une eau dont le Ph varie. Si l'on prélève un échantillon de la production, alors son Ph suit une loi normale $N(7,5$ ; $0,36)$.

  1. Que vaut l'écart-type $σ$ associé à cette loi?
  2. On prélève un échantillon au hasard.
    Quelle est la probabilité que son Ph soit entre 6,5 et 9?
  3. Quelle est la probabilité que son Ph soit inférieur à 6,5?
  4. Quelle est la valeur $x$ du Ph ( à 0,1 près ) telle que, pour un échantillon donné, la probabilité que le Ph soit inférieur à $x$ vaille 0,025?
  5. Un filtre permet de diminuer la valeur de l'écart-type $σ$.
    Soit $p$ la probabilité qu'un échantillon ait un Ph compris entre 6,5 et 8,5. On désire que $p$ soit égale à 0,95.
    Déterminer ( à 0,1 près ) la valeur de $σ$ à atteindre pour que cela soit réalisé
Solution...
Corrigé
  1. On a: $σ^2=0,36$, et $σ>0$. Par conséquent: $σ=√{0,36}=0,6$.

  2. Soit X la variable aléatoire donnant le Ph. On cherche: $p(6,5≤X≤9)$.
    A la calculatrice, on obtient: $p(6,5≤X≤9)≈0,946$.

  3. On cherche: $p(X<6,5)$.
    A la calculatrice, on obtient: $p(X<6,5)≈0,048$.

  4. On cherche $x$ tel que $p(X\text"<"x)=0,025$.
    A la calculatrice, on obtient: $x≈6,3$.

    La probabilité de 0,025 est particulière et l'on peut retrouver la valeur de $x$ autrement!
    Pour $X=N(μ;σ)$, par symétrie de la densité par rapport à la droite d'équation $x=μ$, il est clair que: $p(X\text"<"μ-2σ)= p(μ+2σ\text"<"X)={1-p(μ-2σ≤X≤μ+2σ)}/{2}$.
    Et chacun sait que $p(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0,95$.
    Donc, on obtient, en particulier: $p(X\text"<"μ-2σ)≈{1-0,95}/{2}≈0,025$.
    Or on cherche $x$ tel que $p(X\text"<"x)=0,025$.
    D'où: $μ-2σ≈x$, soit: $7,5-2×0,6≈x$, soit: $6,3≈x$.

  5. On note que 6,5=μ-1, et 8,5=μ+1.
    On cherche donc $σ$ tel que $p(μ-1≤X≤μ+1)≈0,95$.
    Or on sait que $p(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0,95$.
    Par conséquent, on obtient $2σ≈1$.
    Et par là: $σ≈0,5$ est la valeur à atteindre.
Réduire...

A retenir
Dans les exercices posés au bac, le fait qu'une variable aléatoire suive une loi normale est nécessairement indiqué dans l'énoncé.
Par contre, ce n'est pas forcément le cas si la variable aléatoire suit une loi uniforme.
Et c'est quasiment jamais le cas si la variable aléatoire suit une loi binomiale!