Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Fonctions exponentielles

Définition

Soit $q$ un réel strictement positif.
La fonction $q^x$, définie sur $\R$, est appelée fonction exponentielle de base $q$.

Propriétés

Soit $q$ un réel strictement positif.
La fonction $q^x$ est continue et dérivable sur $\R$.
La fonction $q^x$ est convexe.
La fonction $q^x$ est strictement positive.
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, $q^{a+b}=q^a×q^b$.
$q^0=1$.    $q^1=q$.

fig1

Si $q\text">"1$, alors la fonction $q^x$ est strictement croissante.
Si $0\text"<"q\text"<"1$, alors la fonction $q^x$ est strictement décroissante.

Exemple
  1. Quel est le sens de variation de la fonction $0,98^x$ sur $\R$.
  2. Montrer que l'équation $0,98^x=0,5$ admet une unique solution $a$ sur l'intervalle $[0;40]$
  3. Déterminer un encadrement de $a$ d'amplitude 0,01 par essais successifs.
  4. Un certain nombre de bactérie nagent dans un récipient. Une toxine y est versée.
    Le nombre de bactéries baisse alors de 2% par minute.
    Au bout de combien de temps (en minutes et secondes à une seconde près) le nombre de bactéries aura-t-il diminué de moitié?
Solution...
Corrigé
  1. Comme $0\text"<"0,98\text"<"1$, la fonction $0,98^x$ est strictement décroissante sur $\R$.
  2. La fonction $0,98^x$ est continue et strictement décroissante sur $\R$, et donc sur $\[0;40\]$.
    Or 0,5 est un nombre compris entre $0,98^0=1$ et $0,98^{40}≈0,45$.
    Donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $0,98^x=0,5$ admet une unique solution $a$ sur $\[0;40\]$.
  3. Par essais successifs, on obtient: $0,98^{34,30}≈0,500097$ et $0,98^{34,31}≈0,4999996$.
    Donc $a$ est compris entre 34,30 et 34,31.
  4. Soit P la population de bactéries à l'origine.
    Au bout de $x$ minutes, elle vaut $P×0,98^x$.
    Or, on cherche à résoudre l'inéquation $P×0,98^x\text"<"P×0,5$, soit: $0,98^x\text"<"0,5$.
    Donc, d'après les questions précédentes, $x\text">"a$.
    On note alors que $0,30×60=18$ et $0,31×60=18,6$.
    Donc 34,30 représente 34 minutes et 18 secondes, et 34,31 représente 34 minutes et 18,6 secondes.
    A une seconde près, la population de bactéries aura diminué de moitié au bout de 34 minutes et 18 secondes.
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Définition et propriété

Il n'existe qu'une seule valeur de $q$ pour laquelle la fonction $q^x$ a pour nombre dérivé 1 en 0. Cette valeur de $q$ est notée $e$. On a: $e≈2,72$.
La fonction $e^x$ est appelée fonction exponentielle. Elle est notée exp.
exp(0)$=e^0=1$.    exp(1)$=e^1=e$.

Dérivées

La fonction $e^x$ admet pour dérivée $e^x$ sur $\R$. Ainsi: $(e^x)'=e^x$

Si $u$ une fonction dérivable sur un intervalle I, alors $(e^u)'=u'e^u$.

Exemple

Dériver chacune des deux fonctions suivantes: $f(x)=3e^x+7x^3+2$.    $g(x)=0,5e^{x^2-4}$.

Solution...
Corrigé

$f\,'(x)=3e^x+7×3x^2+0=3e^x+21x^2$.

Dérivons $g$.
On pose $u=x^2-4$. Donc $u'=2x-0=2x$.
Ici $g=0,5e^u$ et donc $g'=0,5u'e^u$.
Donc $g'(x)=0,5×2x×e^{x^2-4}=xe^{x^2-4}$.

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Propriétés

La fonction $e^x$ est continue sur $\R$.
La fonction $e^x$ est convexe.
La fonction $e^x$ est strictement positive.
La fonction $e^x$ est strictement croissante.

fig2
Exemple

Soit $\C$ la courbe représentative de $e^x$.
Déterminer une équation de $d_0$, tangente à $C$ en 0.
Déterminer une équation de $d_1$, tangente à $C$ en 1.
Comment sont ces tangentes par rapport à $\C$?

Solution...
Corrigé

Posons $f(x)=e^x$.    On a donc: $f\,'(x)=e^x$.
$d_0$ a pour équation $y=f(x_0)+f\,'(x_0)(x-x_0)$.
ici: $x_0=0$, $f(x_0)=e^0=1$, $f\,'(x_0)=e^0=1$.
D'où l'équation: $y=1+1(x-0)$, soit: $y=1+x$, soit: $y=x+1$.
Donc finalement, $d_0$ a pour équation: $y=x+1$ (elle est tracée en rouge sur le dessin de la propriété précédente).

$d_1$ a pour équation $y=f(x_0)+f\,'(x_0)(x-x_0)$.
ici: $x_0=1$, $f(x_1)=e^1=e$, $f\,'(x_1)=e^1=e$.
D'où l'équation: $y=e+e(x-1)$, soit: $y=e+ex-e$, soit: $y=ex$.
Donc finalement, $d_1$ a pour équation: $y=ex$ (elle est tracée en vert sur le dessin de la propriété précédente).

Comme la fonction $e^ x$ est convexe, toutes les tangentes à $\C$, et en particulier $d_0$ et $d_1$, sont situées en dessous de $\C$.

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Exemple

Quel est le sens de variation de la fonction $f(x)=5e^{2x}+x^3$ sur $\R$?

Solution...
Corrigé

Dérivons $f$.
On pose $u=2x$. Donc $u'=2$.
Ici $f=5e^u+x^3$ et donc $f\,'=5u'e^u+3x^2$.
Donc $f\,'(x)=5×2×e^{2x}+3x^2=10e^{2x}+3x^2$.
Or, une exponentielle est strictement positive. De plus, un carré est positif. Et enfin, les coefficients 10 et 3 sont strictement positifs.
Par conséquent, $f\,'(x)$ est strictement positif pout tout $x$ réel, et par là, $f$ est strictement croissante sur $\R$.

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Propriétés

Pour tous nombres réels $a$ et $b$, $e^{a+b}=e^a×e^b$    ${e^a}/{e^b}=e^{a-b}$     $(e^a)^b=e^{ab}$

Exemple

Calculer $s=e^0+e^{0,1}e^{0,9}-3{e^{7,2}}/{e^{6,2}}$ (donner la valeur exacte de $s$, puis une valeur approchée arrondie à 0,1 près)

Solution...
Corrigé

$s=1+e^{0,1+0,9}-3e^{7,2-6,2}=1+e^1-3e^1=1-2e^1=1-2e≈-4,4$
Remarque:
$e$ s'obtient à la calculatrice en tapant: 2nde ln 1 (pour une TI), ou: SHIFT ln 1 (pour une casio).

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Propriétés

Pour tous nombres réels $a$ et $b$:    $e^a\text"<"e^b ⇔ a\text"<"b$    et    $e^a=e^b ⇔ a=b$

Exemple

  1. Résoudre l'équation $e^{x-2}-1=0$.
  2. Résoudre l'inéquation $e^{-5x+3}-e≤0$.

Solution...
Corrigé
  1. $\D_E=\R$.
    $e^{x-2}-1=0⇔e^{x-2}=1⇔e^{x-2}=e^0⇔x-2=0⇔x=2$.
    Donc $\S=\{2\}$.
  2. $\D_E=\R$.
    $e^{-5x+3}-e≤0⇔e^{-5x+3}≤e⇔e^{-5x+3}≤e^1⇔-5x+3≤1$
    Soit: $e^{-5x+3}-e≤0⇔-5x≤1-3⇔x≥{-2}/{-5}⇔x≥0,4$.
    Donc $\S=[0,4;+∞[$.
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A retenir
Le signe d'une expression contenant une exponentielle est souvent évident car une exponentielle est strictement positive.
Quand le signe n'est pas évident, il faut résoudre une inéquation.

Exemple

  1. Etudier le signe de $e^{-x-2}+3$.
  2. Montrer que $e^{-5x+3}(x-2)$>$0$ sur $]2; +∞[$.
  3. Montrer que $e^{-x}-1$>$0$ sur $]-∞;0[$.

Solution...
Corrigé

  1. $e^{-x-2}$>$0$ car une exponentielle est strictement positive.
    Donc: $e^{-x-2}+3$>$3$, et par là, $e^{-x-2}+3$ est strictement positive pour tout $x$.
  2. $e^{-5x+3}$>$0$ car une exponentielle est strictement positive.
    Donc le produit $e^{-5x+3}(x-2)$ est du signe de la fonction affine $x-2$.
    Or cette dernière s'annule en 2, et son coefficient directeur 1 est strictement positif.
    Donc $x-2$>$0$ pour $x$>$2$.
    Et par là: $e^{-5x+3}(x-2)$>$0$ sur $]2; +∞[$.
  3. Cette fois-ci, la positivité de l'exponentielle ne sert à rien, car on lui ôte 1.
    On a: $e^{-x}-1$>$0$ $⇔$ $e^{-x}$>$1$ $⇔$ $e^{-x}$>$e^0$ $⇔$ $-x$>$0$ $⇔$ $x$<$0$.
    Donc $e^{-x}-1$>$0$ sur $]-∞;0[$.

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