Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Fonction logarithme népérien

Définition et propriété

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction définie sur $]0;+∞[$ qui, à tout réel strictement positif $b$ associe l'unique solution de l'équation $e^x=b$.
Ainsi, pour tout réel $b$ strictement positif, pour tout réel $a$, $a=\ln b⇔ e^a=b$.
Ainsi: $\ln 1=0$     $\ln e=1$.

Dérivée

La fonction $\ln x$ admet pour dérivée ${1}/{x}$ sur $]0;+∞[$. Ainsi: $(\ln x)'={1}/{x}$

Exemple

Soit $f$ définie sur $]0;+∞[$ par $f(x)=7\ln x+3x$.
Montrer que $f\,'(x)={7+3x}/{x}$.

Solution...
Corrigé
$f\,'(x)=7{1}/{x}+3={7}/{x}+{3x}/{x}={7+3x}/{x}$.
Réduire...

Propriétés

La fonction $\ln x$ est continue sur $]0;+∞[$.
La fonction $\ln x$ est concave.
La fonction $\ln x$ est strictement négative sur $]0;1[$ et strictement positive sur $]1;+∞[$.
La fonction $\ln x$ est strictement croissante.

fig1
Exemple

Soit $\C$ la courbe représentative de $\ln x$.
Déterminer une équation de $d_0$, tangente à $C$ en 1.
Déterminer une équation de $d_1$, tangente à $C$ en e.
Comment sont ces tangentes par rapport à $\C$?

Solution...
Corrigé

Posons $f(x)=\ln x$.    On a donc: $f\,'(x)={1}/{x}$.
$d_0$ a pour équation $y=f(x_0)+f\,'(x_0)(x-x_0)$.
ici: $x_0=1$, $f(x_0)=\ln 1=0$, $f\,'(x_0)={1}/{1}=1$.
D'où l'équation: $y=0+1(x-1)$, soit: $y=x-1$.
Donc finalement, $d_0$ a pour équation: $y=x-1$ (elle est tracée en rouge sur le dessin de la propriété précédente).

$d_1$ a pour équation $y=f(x_0)+f\,'(x_0)(x-x_0)$.
ici: $x_0=e$, $f(x_1)=\ln e=1$, $f\,'(x_1)={1}/{e}$.
D'où l'équation: $y=1+{1}/{e}(x-e)$, soit: $y=1+{1}/{e}x-1$, soit: $y={1}/{e}x$.
Donc finalement, $d_1$ a pour équation: $y={1}/{e}x$ (elle est tracée en vert sur le dessin de la propriété précédente).

Comme la fonction $\ln x$ est convexe, toutes les tangentes à $\C$, et en particulier $d_0$ et $d_1$, sont situées en dessous de $\C$.

Réduire...
Exemple

Sans calculatrice, donner le signe de $\ln 0,5$, de $\ln 1,9$.

Solution...
Corrigé

$0,5\text"<"1$, et donc $\ln 0,5\text"<"0$.
$1,9\text">"1$, et donc $\ln 1,9\text">"0$.

Réduire...

Propriétés

Pour tous nombres réels strictement positifs $a$ et $b$, pour tout entier relatif $p$, on a:
$\ln ab=\ln a+\ln b$    $\ln {a}/{b}=\ln a-\ln b$    $\ln a^p=p\ln a$   $\ln √a={1}/{2}\ln a$   

Pour tous nombre réel $a$ , on a:   $\ln (e^a)=a$
Pour tous nombre réel strictement positif $a$ , on a:   $e^{\ln a}=a$

Exemple

Simplifier les expressions suivantes: $A=3\ln 2-\ln4+\ln(e^{1,19})$   $B=\ln x^2-\ln x+e^{\ln3,7}$.

Solution...
Corrigé

$A=3\ln 2-\ln4+\ln(e^{1,19})=\ln 2^3-\ln4+1,19=\ln8-\ln4+1,19$.
Soit: $A=\ln{8}/{4}+1,19=\ln2+1,19$.

$B=\ln x^2-\ln x+e^{\ln3,7}=\ln{x^2}/{x}+3,7=\ln x+3,7$.

Réduire...

Propriétés

Pour tous nombres réels strictement positifs $a$ et $b$, on a:
$\ln a\text"<"\ln b ⇔ a\text"<"b$    et    $\ln a=\ln b ⇔ a=b$

Exemple

  1. Résoudre l'équation $\ln(x-2)=0$.
  2. Résoudre l'inéquation $\ln(-5x+3)-1≤0$.
  3. Résoudre l'inéquation $\ln(-5x+3)≤4$.
  4. Résoudre l'inéquation $e^(-4x)-7≤0$.
  5. Résoudre l'inéquation $5×0,98^x≤0,9$.

Solution...
Corrigé
  1. On doit avoir $x-2\text">"0$, soit $x\text">"2$. Donc $\D_E=]2;+∞[$.
    $\ln(x-2)=0⇔\ln(x-2)=\ln 1⇔x-2=1⇔x=3$.
    Donc $\S=\{3\}$.   Notons que 3 est bien dans $\D_E$
  2. On doit avoir $-5x+3\text">"0$, soit $-5x\text">"-3$, soit $x\text"<"{-3}/{-5}$, soit $x\text"<"0,6$.
    Donc $\D_E=]-∞;0,6[$.
    $\ln(-5x+3)-1≤0⇔\ln(-5x+3)≤1⇔\ln(-5x+3)≤\ln e⇔-5x+3≤e$
    Soit: $\ln(-5x+3)-1≤0⇔-5x≤e-3⇔x≥{e-3}/{-5}$
    Donc $\S=[{e-3}/{-5};0,6[$.   Notons que ${e-3}/{-5}≈0,06$.
  3. On doit avoir $-5x+3\text">"0$, soit $-5x\text">"-3$, soit $x\text"<"{-3}/{-5}$, soit $x\text"<"0,6$.
    Donc $\D_E=]-∞;0,6[$.
    $\ln(-5x+3)≤4⇔e^{\ln(-5x+3)}≤e^4⇔-5x+3≤e^4⇔-5x≤e^4-3⇔x≥{e^4-3}/{-5}$
    Donc $\S=[{e^4-3}/{-5};0,6[$.   Notons que ${e^4-3}/{-5}≈-10,32$.
  4. $\D_E=\R$
    $e^(-4x)-7≤0⇔e^(-4x)≤7⇔\ln(e^(-4x))≤\ln 7⇔-4x≤\ln 7⇔x≥{\ln 7}/{-4}$.
    Donc $\S=[{\ln 7}/{-4};+∞[$.   Notons que ${\ln 7}/{-4}≈-0,49$.
  5. $\D_E$ est l'ensemble des entiers naturels.
    $5×0,98^x≤0,9⇔0,98^x≤{0,9}/{5}⇔0,98^x≤0,18⇔\ln(0,98^x)≤\ln 0,18$
    Soit: $5×0,98^x≤0,9⇔x\ln0,98≤\ln 0,18$.
    Soit: $5×0,98^x≤0,9⇔x≥{\ln 0,18}/{\ln0,98}$.
    Notons le changement de sens de l'inégalité car $\ln 0,98\text"<"0$.
    Comme ${\ln 0,18}/{\ln0,98}≈84,88$, on obtient finalement: $\S=[85;+∞[$.
Réduire...