Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Primitives

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I.
Une primitive de $f$ sur I est une fonction F telle que $F\,'=f$ sur I.

Exemple

Sur ℝ, la dérivée de la fonction $x^2$ est la fonction $2x$.
Donc $F(x)=x^2$ est une primitive de la fonction $f(x)=2x$ sur ℝ.

A retenir
Pour montrer que $g$ est une primitive de $f$, il suffit de montrer que $g'=f$.

Propriété

Toute fonction $f$ continue sur un intervalle I admet une primitive F sur I.

Propriété

Soit f une primitive de $f$ sur un intervalle I.
Si $G=F+c$, où $c$ est une constante, alors $G$ est aussi une primitive de $f$.
Toute primitive de $f$ sur I est de la forme $F+c$, où $c$ est une constante.

Exemple

Déterminer la primitive G de $f(x)={-1}/{x^2}$ sur $]0;+∞[$ telle que $G(2)=3$.

Solution...
Corrigé

Sur $]0;+∞[$, la dérivée de $1/x$ est ${-1}/{x^2}$.
Donc la fonction F définie par $F(x)={1}/{x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $]0;+∞[$
Donc toute primitive G de $f$ s'écrit sous la forme: $G(x)= F(x)+c$, où $c∈ℝ$.
On cherche donc une fonction $G$ définie par $G(x)={1}/{x}+c$ (où $c∈ℝ$) telle que $G(2)=3$.
Or: $G(2)=3 ⇔{1}/{2}+c=3 ⇔ c=3-0,5=2,5$.
Donc, la fonction G définie par $G(x)={1}/{x}+2,5$ sur $]0;+∞[$ est la primitive cherchée.

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Primitives usuelles

Sur des intervalles convenables:

une primitive de $f(x)=k$ (où $k$ est un nombre réel) est $F(x)=kx$.
une primitive de $f(x)=x$ est $F(x)={x^2}/2$.
une primitive de $f(x)=1/{x^2}$ est $F(x)={-1}/x$.
une primitive de $f(x)=x^n$ est $F(x)={x^{n+1}}/{n+1}$, où $n$ est un entier différent de 0 et de -1.
une primitive de $f(x)=1/√x$ est $F(x)=2√x$.
une primitive de $f(x)=e^x$ est $F(x)=e^x$.
une primitive de $f(x)=1/ x$ est $F(x)=\ln x$.

Primitives particulières

Sur des intervalles convenables:

une primitive de $f(x)=u'e^u$ est $F(x)=e^u$.
une primitive de $f(x)={u'}/{u^2}$ est $F(x)={-1}/u$.

Primitives d'une somme et d'un produit par un nombre réel

Sur un intervalle I,
si $u$ et $v$ ont pour primitives respectives U et V, et si $k$ est un nombre réel,

alors $u+v$ a pour primitive $U+V$
et $ku$ a pour primitive $kU$.

Exemple

Déterminer les primitives F de $f(x)=50x^2+1/{2√x}+2xe^{x^2}$ sur $]0;+∞[$.

Solution...
Corrigé

On a: $f=ku+v +w'e^w$ avec $k=50$, $u=x^2$, $v=1/{2√x}$, $w=x^2$ et $w'=2x$.
Suivant les conventions usuelles, on pose: $U={x^3}/{3}$, $V=√x$.
Donc une primitive convenable est $F=kU+V+e^w$, et par là: $F(x)=50{x^3}/{3}+√x+e^{x^2}$.
Donc, sur $]0;+∞[$, les primitives cherchées sont du type: $F(x)=50{x^3}/{3}+√x+e^{x^2} +c$, où $c$ est une constante.

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