Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Probabilités conditionnelles

Définitions

On considère une expérience aléatoire.
L'ensemble de tous les résultats possibles (ou éventualités) d'une expérience aléatoire constitue l'univers de l'expérience.
Il est souvent noté $Ω$.
Un événement est une partie de $Ω$. Un événement élémentaire est une partie de $Ω$ ne contenant qu'une éventualité.

Définir une probabilité sur $Ω$ (supposé fini), c'est associer à chaque événement élémentaire $e_i$ un nombre $p(e_i)$, appelé probabilité de $e_i$, tel que:

  • pour tout $i$, $0≤p(e_i)≤1$
  • la somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut 1.

Il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires constituant l'univers $Ω$ ont la même probabilité.

Modéliser une expérience aléatoire, c'est lui associer un univers $Ω$ et une loi de probabilité sur $Ω$.

Une notation très utile: $\text"Card E"$ représente le nombre d'éléments de E.

Comment obtenir concrètementla probabilité d'un événement A ?

  • On répète un grand nombre de fois l'expérience concernée, et l'on trace la courbe représentant la fréquence de réalisation de l'événement A en fonction du nombre d'expériences. Après quelques fluctuations, cette courbe se stabilise autour d'une valeur qui est la probabilité de A (voir cours sur la fluctuation).

  • Si il y a équiprobabilité, on utilise l'égalité : $p(A)={\text"Card A"}/{\text"Card Ω"}={\text"nombre d'éléments de A"}/{\text"nombre d'éléments de Ω"}$.


Remarque:    $p(E)=0 ⇔ $ E est impossible.   $p(E)=1 ⇔ $ E est certain.

L'intersection de A et B, notée $A∩B$ ( on dit " A inter B " ) est l'ensemble constitué des éléments communs à A et à B.
Ainsi, $x$ appartient à $A∩B$ si et seulement si $x$ appartient à la fois à A et à B.
La réunion de A et B, notée $A∪B$ ( on dit " A union B " ) est l'ensemble constitué des éléments de A et de B.
Ainsi, $x$ appartient à $A∪ B$ si et seulement si $x$ appartient A ou à B (soit à A, soit à B, soit à A et B à la fois).

Deux événements A et B sont incompatibles (ou disjoints ) quand $A∩B= ∅$ ( ils n'ont aucun élément en commun ).
Par exemple, deux événements élémentaires sont incompatibles. De même, deux événements contraires sont incompatibles.

Propriétés

  • Pour tous événements A et B, on a l'égalité: $p(A∪B)=p(A)+p(B)-p(A∩B)$.

  • Si A et B sont incompatibles, alors on a l'égalité: $p(A∪B)=p(A)+p(B)$.

  • La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.

  • Soit A un événement et $A↖{-}$ son contraire. On a l'égalité : $p(A)+p(A↖{-})=1$.

Exemple

On jette 2 dés.
Soit A: "les deux résultats sont inférieurs ou égaux à 4".
Soit B: "la somme des deux résultats vaut 6".
Soit E le contraire de l'évènement $A∪B$.

  1. Modéliser l'expérience pour se placer en situation d'équiprobabilité.
  2. Déterminer $p(A)$ et $p(B)$.
  3. Décrire par une phrase chacun des évènements: $A∩B$, $A∪B$, $E$
  4. Déterminer la probabilité de chacun des évènements précédents.
  5. On sait que la somme des deux résultats vaut 6.
    Quelle est la probabilité que les deux résultats soient inférieurs ou égaux à 4?

Solution...
Corrigé

  1. Les 36 issues de l'expérience sont décrites par le tableau ci-contre.
    Nous y avons fait apparaître les sommes des deux dés.
    fig1

    Notons que l'univers aurait aussi pu être décrit par un arbre de dénombrement.
    Quelque soit la façon de faire, il y a 36 cas équiprobables.
  2. $\text"Card Ω"=6×6=36$. Il y a équiprobabilité.
    A est représenté en gris. B est représenté en jaune.
    $\text"Card A"=16$. Donc: $p(A)={16}/{36}={4}/{9}≈0,44$.
    On remarque que $B$ contient les évènenements 1-5, 2-4, 3-3, 4-2 et 5-1.
    $\text"Card B"=5$. Donc: $p(B)={5}/{36}≈0,14$.
  3. $A∩B$: "les deux résultats sont inférieurs ou égaux à 4 et leur somme vaut 6".
    On remarque que $A∩B$ contient les évènenements 2-4, 3-3 et 4-2.

    $A∪B$: "les deux résultats sont inférieurs ou égaux à 4 ou leur somme vaut 6".
    On remarque $A∪B$ contient $16+(5-3)=16+2=18$ évènements.

    $E$: " les deux résultats sont strictement supérieur 4 et leur somme ne vaut pas 6".
  4. $\text"Card A∩B"=3$. Donc: $p(A∩B)={3}/{36}={1}/{12}≈0,08$.
    $p(A∪B)=p(A)+p(B)-p(A∩B)={16}/{36}+{5}/{36}-{3}/{36}={18}/{36}=0,5$.
  5. $p(E)=1-p(A∪B)=1-0,5=0,5$.
    Une remarque évidente: deux évènements peuvent avoir la même probabilité sans être identiques!
  6. On sait que la somme des deux résultats vaut 6.
    L'univers se réduit donc aux 5 issues de B, qui sont équiprobables.
    Parmi celles-ci, 3 donnent deux résultats inférieurs ou égaux à 4.
    Donc la probabilité cherchée est ${3}/{5}=0,6$.
Réduire...

Définition

Soit B un évènement tel que $p(B)≠0$.
On appelle probabibité conditionnelle de l'évènement A sachant B la probabilité notée $p_B(A)$ et définie par l'égalité $p_B(A)={p(A∩B)}/{p(B)}$.

Exemple

On tire 2 jetons successivement et sans remise d'un sac contenant 4 jetons numérotés de 1 à 6.
Soit A: "les deux jetons sont pairs".
Soit B: "le jeton 2 est resté dans le sac".
Quelle est la probabilité que les deux jetons soient pairs sachant que le jeton 2 est resté dans le sac?

Solution...
Corrigé

On cherche $p_B(A)$.
Déterminons tout d'abord $p(B)$ et $p(A∩B)$.

Les 30 issues de l'expérience sont décrites par le tableau ci-contre.
Comme le premier jeton tiré n'est pas remis, 6 cas sont impossibles; ils sont représentés en noir.
A est représenté en jaune.
B est représenté en gris.

$\text"Card Ω"=6×5=30$.
Il y a équiprobabilité.

fig2

$\text"Card B"=5×4=20$. Donc: $p(B)={20}/{30}={2}/{3}≈0,67$.
$\text"Card A∩B"=2×1=2$. Donc: $p(A∩B)={2}/{30}={1}/{15}≈0,07$.
D'où: $p_B(A)={p(A∩B)}/{p(B)}={{2}/{30}}/{{2}/{3}}={2×3}/{30×2}={1}/{10}=0,1$.

Ce résultat peut se trouver autrement, en raisonnant comme dans l'exemple précédent.
On sait que le jeton 2 est resté dans le sac.
L'univers se réduit donc aux 20 issues de B, qui sont équiprobables.
Parmi celles-ci, 2 donnent deux jetons pairs.
Donc la probabilité cherchée est ${2}/{20}=0,1$.

Réduire...

Probabilité d'une intersection

Soit A un évènement tel que $p(A)≠0$.
On a alors l'égalité $p(A∩B)=p(A)×p_A(B)$.

Soit B un évènement tel que $p(B)≠0$.
On a alors l'égalité $p(A∩B)=p(B)×p_B(A)$.

Propriétés liées aux arbres pondérés

  • règle 1: La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud vaut 1.

  • règle 2: La probabilité d'un évènement associé à une feuille est égale au produit des probabilités des branches du chemin conduisant à la feuille (c'est la généralistion de la formule donnant la probabilité d'une intersection).

  • règle 3: La probabilité d'un évènement associé à plusieurs feuilles est égale à la somme des probabilités de chacune de ces feuilles (c'est l'application de la formule appelée formule des probabilités totales).

Exemple

Revenons sur les deux exemples précédents, et déterminons certaines réponses en utilisant les probabilités conditionnelles.

Premier exemple
On jette 2 dés.
Soit A: "le résultat est inférieur ou égal à 4".
A-A: "les 2 résultats sont inférieurs ou égaux à 4".
On cherche $p(A-A)$.

On peut dresser l'arbre pondéré ci-contre.

Par application de la seconde règle, on obtient: $p(A-A)={4}/{6}×{4}/{6}={16}/{36}≈0,44$.

fig3

Second exemple
On tire 2 jetons successivement et sans remise d'un sac contenant 4 jetons numérotés de 1 à 6.

Soit B: "le jeton tiré n'est pas le jeton 2".
B-B: "aucun des 2 jetons tirés n'est le jeton 2".
On cherche $p(B-B)$.

On peut dresser l'arbre pondéré ci-contre.

Par application de la seconde règle, on obtient: $p(B-B)={5}/{6}×{4}/{5}={20}/{30}≈0,67$.

fig4

Exemple

On désire évaluer l'efficacité d'un test de dépistage d'une maladie donnée. Le résultat qu'il donne est qualifié de "positif" ou de "négatif".
15% de la population venant consulter est contaminée.
Si un patient est contaminé, le test est positif 8 fois sur 10.
Et si un patient n'est pas contaminé, le test est tout de même positif 1 fois sur 10.

Un patient se présente et passe le test.
Soit C: "le patient est contaminé".
Soit S: "le patient est sain".
Soit A: "le test effectué est positif"".

  1. Quelle est la probabilité que le test soit positif sachant que le patient est contaminé.
  2. Dresser un arbre pondéré décrivant l'expérience.
  3. Déterminer la probabilité que le test soit positif et que le patient soit contaminé.
  4. Déterminer la probabilité que le test soit positif.
  5. Déterminer la probabilité que le patient soit contaminé sachant que le test est positif.
  6. Pourquoi peut-on envisager de renoncer à ce test de dépistage?

Solution...
Corrigé

  1. La probabilité cherchée est $p_C(A)={8}/{10}=0,8$.
  2. Arbre pondéré décrivant l'expérience (construit par application de la première règle).
    Les probabilités sur les branches de second niveau sont des probabilités conditionnelles!
    fig5
  3. La probabilité cherchée est $p(C∩A)=p(C)×p_C(A)=0,15×0,8=0,12$ (par application de la seconde règle).
  4. La probabilité cherchée est $p(A)=p(C∩A)+p(S∩A)$ (par application de la formule des probabilités totales).
    Soit: $p(A)=0,12+p(S)×p_S(A)$ (par application de la seconde règle).
    Soit: $p(A)=0,12+0,85×0,1=0,12+0,085=0,205$.
  5. La probabilité cherchée est $p_A(C)={p(C∩A)}/{p(A)}={0,12}/{0,205}≈0,59$.
  6. On peut donc envisager de renoncer à ce test de dépistage. Il n'est pas fiable. En effet, la probabilité qu'un patient soit contaminé sachant que son test est positif est trop faible.

Réduire...

A retenir
Dans un arbre de probabilités, les probabilités situées sur les branches à la racine de l'arbre sont "simples", alors que les probabilités situées sur les autres branches sont toutes des probabilités conditionnelles.
La probabilité d'un évènement situé en bout de branche s'obtient en général par l'application de la formule des probabilités totale.