Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Algorithmes

Exercice 1

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même non aboutie, serait prise en compte lors de la notation

On considère un programme associé à l'algorithme suivant:

Lire $N$
Affecter à $U$ la valeur 1000
Affecter à $I$ la valeur 0
Tant que $I$<$N$
Affecter à $U$ la valeur $0,95×U$
Augmenter $I$ de 1
Fin du Tant que
Afficher $U$

1. Donner les valeurs successives prises par $I$ et $U$ lorsque le programme fonctionne pour une valeur de $N$ égale à 2.
Que s'affiche-t-il à la fin?

2. Soit $(u_n)$ la suite définie par:
la relation de récurrence $u_{n+1}=0,95×u_n$
son premier terme $u_0=1000$.
Préciser l'utilité de ce programme relativement à la suite proposée.

3. Supprimer une ligne de l'algorithme précédent, puis en modifier deux lignes pour que le nouvel algorithme permette de déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n<900$.

4. Ecrire un algorithme donnant le même résultat que celui donné au début de l'énoncé, mais en remplaçant la boucle Tant que par une boucle Pour.

Solution...

Corrigé

1. $N=2$; $U=1000$; $I=0$.
Première boucle (on a bien $I<2$):
$U=0,95×1000=950$ ; $I=1$.
Fin de la première boucle.
Seconde boucle: (on a bien $I<2$):
$U=0,95×950=902,5$ ; $I=2$.
Fin de la seconde boucle.
Il n'y a pas de troisième boucle car $I≥2$.
Finalement, il s'affiche la valeur de $U$, c'est à dire 902,5.

2. Le programme proposé demande à l'utilisateur de saisir une valeur de $n$ et affiche alors la valeur de $u_n$ correspondante.
Par exemple, pour $n=2$, le programme renvoie la valeur de $u_2$, c'est à dire 902,5.

3. Nouvel algorithme:
(Noter que la ligne Lire $N$ a disparu)
Affecter à $U$ la valeur 1000
Affecter à $I$ la valeur 0
Tant que $U≥900$ (Noter le $U≥900$ à la place de $I$<$N$)
Affecter à $U$ la valeur $0,95×U$
Augmenter $I$ de 1
Fin du Tant que
Afficher $I$ (Noter le $I$ à la place de $U$)

Remarque: si l'on fait fonctionner cet algorithme, il s'affichera finalement 3 (car $u_3=857,375$ est la première valeur de $u_n$ en dessous de 900).

4. Algorithme équivalent à celui du début:

Lire $N$
Affecter à $U$ la valeur 1000
Pour $I$ allant de 0 à $N-1$
Affecter à $U$ la valeur $0,95×U$
Fin du Pour
Afficher $U$

(Noter qu'il est inutile d'augmenter $I$ de 1; l'incrémentation est automatique à la fin de chaque boucle Pour)

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