Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Annales

Pondichéry 2013

Exercice 1

4 points       Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

  1. La fonction F définie sur $\ℝ$ par $F(x) = e^{- x^2}$ est une primitive de la fonction $f$ définie par :
    a) $f(x) = - xe^{- x^2}$       b) $f(x) = - 2xe^{- x^2}$       c) $f(x) = xe^{- x^2}$       d) $f(x) = e^{- 2x}$

  2. Soit la fonction $h$ définie sur $\ℝ$ par $h(x) = (7x - 23)e^{x}$.
    L'équation $h(x) = 0$
    a) a pour solution 2,718       b) a une solution sur $[0 ; +∞[$
    c) a deux solutions sur $\ℝ$       d) a une solution sur $]-∞ ; 0]$

  3. On pose $$I = ∫_0^1 3e^{3x}dx$$.
    On peut affirmer que :
    a) $I = e^{3} - 1$       b) $I = 3e^{3} - 3$       c) $I = 19,1$       d) $I = 1 - e^{3}$

  4. La fonction $g$ définie sur $\ℝ$ par $g(x) = x^3 - 9x$ est convexe sur l'intervalle :
    a) $]- ∞ ; +∞[$       b) $[0 ; +∞[$       c) $]- ∞ ; 0]$       d) $[- 3 ; 3]$
Solution...
Corrigé
  1. Réponse b)
    Preuve:
    On dérive $F$. On a: $F=e^u$ avec $u=-x^2$, et par là: $f\,'=u'e^u$ avec $u'=-2x$.
    Donc $F'(x) = -2xe^{- x^2}=f(x)$, et c'est vrai pour tout $x$ de $\ℝ$.
    Par conséquent, $F'=f$, et par là, $F$ est une primitive de $f$.

  2. Réponse b)
    Preuve:
    $\D_E=\ℝ$.
    $h(x) = 0 ⇔(7x - 23)e^{x}=0⇔ 7x-23=0$ ou $e^{x}=0$.
    Or une exponentielle est strictement positive, donc elle n'est jamais nulle.
    Par conséquent: $h(x) = 0 ⇔ 7x-23=0⇔7x=23⇔x={23}/{7}≈3,29$
    Seule la réponse b) convient.

  3. Réponse a)
    Preuve:
    On rappelle que $u'e^u$ admet pour primitive $e^u$. Ici, $u=3x$ et $u'=3$. Donc:
    $$I = ∫_0^1 3e^{3x}dx=[e^{3x}]_0^1=e^3-e^0=e^3-1$$.

  4. Réponse b)
    Preuve:
    On rapelle que $g$ est convexe si et seulement si $g"$ est positive.
    On dérive deux fois $g$.
    $g'(x)=3x^2-9$.      $g"(x)=3×2x-0=6x$.
    Or $6x$ est positif si et seulement si $x$ est positif.
    Donc $g$ est convexe sur l'intervalle $[0 ; +∞[$.
Réduire...

Exercice 2

5 points       Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.
L'enquête révèle que $55\%$ des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, $95\%$ sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement $10\%$ sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :
L : "l'élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi" ;
C : "l'élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire".

  1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

  2. Calculer $P(L ∩ C)$ la probabilité de l'évènement $L ∩ C$.

  3. Montrer que $P(C) = 0,5675$.

  4. Calculer $P_{C}(L)$, la probabilité de l'évènement L sachant l'évènement $C$ réalisé. En donner une valeur arrondie à $10^{-4}$.

  5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement.
    Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
    Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.
    a) Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
    b) Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. En donner une valeur arrondie à $10^{-4}$.
    c) Calculer la probabilité qu'exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
Solution...
Corrigé
  1. Arbre pondéré décrivant l'expérience (construit par application de la première règle).
    pondichery

  2. $P(L ∩ C)=p(L)×p_L(C)=0,55×0,95=0,5225$ (par application de la seconde règle).

  3. $p(C)=p(L∩C)+p(L↖{-}∩C)$ (par application de la formule des probabilités totales).
    Soit: $p(C)=0,5225+p(L↖{-})×p_{L↖{-}}(C)$ (par application de la seconde règle).
    Soit: $p(C)=0,5225+0,45×0,10=0,5225+0,045=0,5675$.

  4. Calculer $P_{C}(L)={p(L∩C)}/{p(C)}={0,5225}/{0,5675}≈0,9207$.

  5. a) X est une binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,5675$.
    On note: $X=B(4;0,5675)$.
    b) $p(X=0)= (\table 4; 0)0,5675^{0}(1-0,5675)^{4-0}=1×1×0,4325^{4}≈0,0350$.
    Le résultat s'obtient aussi directement avec la calculatrice.
    c) $p(X=2)= (\table 4; 2)0,5675^{2}(1-0,5675)^{4-2}=6×0,5675^{2}×0,4325^{2}≈0,3615$.
    Le résultat s'obtient aussi directement avec la calculatrice.
Réduire...

Exercice 3

5 points       Commun à tous les candidats

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3000€ à intérêts composés au taux annuel de $2,5\%$.
On note $C_n$ le capital du client au 1er janvier de l'année $2000+n$, où $n$ est un entier naturel.

  1. Calculer $C_1$ et $C_2$. Arrondir les résultats au centime d'euro.

  2. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$.
    En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a la relation : $C_n=3000×1,025^n$.

  3. On donne l'algorithme suivant :
    Entrée
    Saisir un nombre S supérieur à 3000
    Traitement
    Affecter à n la valeur 0. {Initialisation}
    Affecter à U la valeur 3000 {Initialisation}
    Tant que $U≤S$
    n prend la valeur n+1
    U prend la valeur $U×1,025$
    Fin tant que
    Sortie
    Afficher le nombre 2000+n

    a) Pour la valeur $S=3300$ saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant.
    Les résultats seront arrondis à l'unité.
    pondichery2
    b) En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3300.
    c) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3000.

  4. Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de 5000€.
    Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date.

  5. Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10.
Solution...
Corrigé
  1. $C_1=C_0+C_0×{2,5}/{100}=C_0×(1+{2,5}/{100})=C_0×1,025=3000×1,025=3075$ (€).
    De même: $C_2=C_1×1,025=3075×1,025≈3151,88$ (€).

  2. Ainsi, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $C_{n+1}=C_n×1,025$, et par là, la suite $(C_n)$ est géométrique de raison 1,025. Par ailleurs, son premier terme est $C_0=3000$.
    Par conséquent, pour tout nombre entier naturel $n$, on a la relation : $C_n=3000×1,025^n$.

  3. a) pondichery3
    b) pour n=4, la condition n'est plus vérifiée, et la boucle cesse.
    Il s'affiche alors 2004.
    c) Cet algorithme permet de déterminer l'année à partir de laquelle le montant du capital sera strictement supérieur à S.

  4. Le 1er janvier 2013 correspond à n=13.
    Or $C_{13}=3000×1,025^{13}≈4135,53$ (€)
    Cette somme est inférieure à 5000 (€).
    Le capital de son placement n'est donc pas suffisant à cette date.

  5. Comme la raison de la suite géométrique $(C_n)$ est strictement supérieure à 1 et que son premier terme est strictement positif, la suite est strictement croissante et elle tend vers l'infini.
    Il existe donc un plus petit entier n tel que $C_n≥3000×10$.
    On peut donc déterminer cet entier par essais successifs.
    On peut aussi résoudre une inéquation. Détaillons cette dernière méthode.
    On a: $C_n≥3000×10⇔3000×1,025^n≥3000×10$
    Soit: $C_n≥3000×10⇔1,025^n≥10⇔\ln(1,025^n)≥\ln(10)⇔n\ln(1,025)≥\ln(10)$
    Soit: $C_n≥3000×10⇔n≥{\ln(10)}/{\ln(1,025)}$.
    Notons que le sens de l'inégalité n'a pas changé car $\ln 1,025\text">"0$.
    Or ${\ln(10)}/{\ln(1,025)}≈93,25$.
    Donc le plus petit entier cherché est 94.
    Le client pourrait donc avoir son capital initial multiplié par 10 en 2094.
Réduire...

Exercice 4

6 points       Commun à tous les candidats

La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.

PARTIE A
On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;6]$ par $f⁡(x)=1-(x+1)⁢e^{-x}$.

  1. Montrer que $f′(⁡x)=x⁢e^{-x}$ où $f′$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
  2. Démontrer que l'équation $f⁡(x)=0,5$ admet une solution unique $α$ sur l'intervalle $[0;6]$.
    Déterminer une valeur arrondie de $α$ à 0,01.
  3. On admet que la fonction $F$ définie sur $[0;6]$ par $F⁡(x)=x+(x+2)⁢e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $[0;6]$.
    Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à $10^{− 3}$ de $$I = ∫_0^6 f(x)dx$$ .

PARTIE B
Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.
Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l'aide de la fonction $f$ définie dans la partie A pour $x$ compris entre 0 et 6.
$x$ représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.
$f(x)$ représente la production journalière de batteries en milliers.

  1. Exprimer en mois puis en jours le moment où la production atteindra 0,5 millier soit 500 unités.
  2. Déterminer une valeur arrondie à $10^{− 3}$ de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois.

PARTIE C
Voir l'exercice 5 questions 1 et 2 du chapitre Lois à densité.

Solution...
Corrigé

PARTIE A
On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;6]$ par $f⁡(x)=1-(x+1)⁢e^{-x}$.

  1. On pose $u=x+1$ et $v=-x$. D'où $u'=1$ et $v'=-1$.
    Ici $f=1-u×(e^v)$. Donc $f\,'=0-(u'×(e^v)+u×(e^v)')=-u'×(e^v)-u×(e^v)'$.
    Or on sait que la dérivée de $e^v$ est $v'e^v$.
    Donc $f\,'=-u'×e^v-u×v'×e^v=-(u'+u×v')e^v$.
    Donc $f′(⁡x)= -(1+(x+1)×(-1))e^{-x}=-(1-x-1)e^{-x}=-(-x)e^{-x}=xe^{-x}$.
  2. $f′(⁡x)$ est un produit de 2 facteurs, $x$ et $e^{-x}$.
    Or, sur $[0;6]$, $x$ est strictement positif.
    De plus, $e^{-x}$ est strictement positive pour tout réel $x$.
    Donc, sur $[0;6]$, $f′(⁡x)$ est strictement positive.
    Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur $[0;6]$.
    Par ailleurs, comme $f$ est dérivable, elle est continue.
    De plus, le nombre 0,5 est compris entre $f(0)=0$ et $f(6)≈0,98$,
    Donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=0,5$ admet une unique solution sur $\[0;6\]$.
    Par essais successifs à l'aide de la calculatrice, on obtient $f(1,675)≈0,4989$ et $f(1,68)≈0,5005$, et par là $α≈1,68$
  3. $$I = ∫_0^6 f(x)dx=F(6)-F(0)=6+8e^{-6}-(0+2e^{-0})=6+8e^{-6}-2=4+8e^{-6}≈4,020$$ .

PARTIE B

  1. D'après la question 2 de la partie A, la production atteindra 500 unités au bout de 1,68 mois.
    Or $1,68×30=50,4$.
    Donc la production atteindra 500 unités au bout de 51 jours.
  2. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;6]$ est : $m={1}/{6-0}×I={4+8⁢e^{-6}}/{6}≈0,67$.
    Sur les six premiers mois, la valeur moyenne de la production est 0,67 milliers, soit 670 unités (par mois).
Réduire...