Corrigé de l'exercice 1

1. $T$ donne la durée de vie d'une vanne (en heures). Donc la durée de vie moyenne d'une vanne est l'espérance $E$ de $T$.
   Or $T$ suit la loi exponentielle de paramètre $λ=0,0002$. Donc son espérance est $E={1}/{λ}={1}/{0,0002}=5000$.
   Par conséquent, la durée de vie d'une vanne est égale à 5000 heures.


2. On cherche $p(6000≤T)=e^{-λ6000}=e^{-0,0002×6000}≈0,301$.
   Donc la probabilité que la durée de vie d'une vanne soit supérieure à 6000 heures est d'environ $0,301$.

Partie B

1. Ci-dessous l'arbre probabiliste complété.
   
   


2. $E=F_1 ∪ (\ov{F_1}∩F_2∩F_3)$. Or, les événements $F_1$ et $\ov{F_1}∩F_2∩F_3$ sont incompatibles. Donc $p(E)=p(F_1)+p(\ov{F_1}∩F_2∩F_3)$.
   Or, d'après l'arbre précédent, on a: $p(F_1)=0,3$ et $p(\ov{F_1}∩F_2∩F_3)=0,7×0,3×0,3=0,063$.
   Par conséquent: $p(E)=0,3+0,063=0,363$. Soit: $p(E)=0,363$.


3. On cherche $p_E(F_1)$.
   On a: $p_E(F_1)={p(E∩F_1)}/{p(E)}$.
   Or: $E∩F_1=F_1$. Et par là: $p(E∩F_1)=p(F_1)=0,3$.
   Et on a vu que $p(E)=0,363$.
   Donc $p_E(F_1)={0,3}/{0,363}≈0,826$. Soit: $p_E(F_1)≈0,826$.

Partie C

1. Avec les notations usuelles, on pose: $n=400$, $p=0,02$.
   $p-1,96{√{p(1-p)}}/{√{n}}=0,02-1,96{√{0,02×0,98}}/{√{400}}=0,00628$.
   $p+1,96{√{p(1-p)}}/{√{n}}=0,02+1,96{√{0,02×0,98}}/{√{400}}=0,03372$.
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de $F$ vaut $[0,00628;0,03372]$.


2. L'industriel affirme que seulement $2%$ des vannes qu'il fabrique sont défectueuses.
   On se demande si l'hypothèse $p=0,02$ est correcte.
   Tout d'abord, on a: $n≥30$.
   De plus: $np=8$ et $n(1-p)=392$; et par là: $np≥5$ et $n(1-p)≥5$.
   L'intervalle de fluctuation asymptotique peut donc être utilisé.
   La fréquence de vannes défectueuses est égale à ${10}/{400}=0,025$.
   Cette fréquence est dans l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de $F$.
   Donc on ne peut pas remettre en cause, au seuil de $95%$, l'affirmation de l'industriel.

Partie D

1. A la calculatrice, on obtient: $p(760≤D≤840)≈0,683$ (méthode ici).


2. A la calculatrice, on obtient: $p(D≤880)≈0,977$ (méthode ici).


3. Comme $p(D≤880)≈0,977$, on en déduit que $p(D$>$880)≈2,3%$.
   Et par là, avec un stock mensuel de 880 vannes,l'industriel aura plus de $1%$ de chance d'être en rupture de stock.
   L'industriel a donc tort!

Corrigé de l'exercice 2

L'affirmation 1 est fausse.
En effet: si le plan d'équation cartésienne $2x+y+2z-24=0$ passe effectivement par A (car $2x_A+y_A+2z_A-24=0$), il n'est pas parallèle à $P$.
Prouvons le.
On rappelle que deux plans de vecteurs normaux respectifs ${n}↖{→}$ et ${n}↖{→}$ sont parallèles si et seulement si ${n}↖{→}$ et ${n'}↖{→}$ sont colinéaires.
Or, ici, $P$ d'équation cartésienne $2x+y-2z-5=0$ admet pour vecteur normal ${n}↖{→}(2;1;-2)$, et le plan d'équation cartésienne $2x+y+2z-24=0$ admet pour vecteur normal ${n'}↖{→}(2;1;2)$.
Et comme ${n}↖{→}$ et ${n'}↖{→}$ ne sont pas colinéaires (aucun n'est nul et leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles), les 2 plans ne sont pas parallèles.
Finalement, une équation cartésienne du plan parallèle à $P$ et passant par le point A n'est pas $2x+y+2z-24=0$.

L'affirmation 2 est vraie.
Démonstration: il suffit de prouver que $d$, droite de représentation paramétrique $\{\table x=9-3t; y=0;z=5+5t$, passe par A et est parallèle à $(AC)$.

A( 12 ; 0 ; 0 ) est sur $d$ si et seulement si
il existe un réel $t$ tel que $\{\table 12=9-3t; 0=0;0=5+5t$
Or $\{\table 12=9-3t; 0=0;0=5+5t$ $⇔$ $\{\table 3=-3t; 0=0; -1=t$$ ⇔$ $\{\table -1=t; 0=0; -1=t$
Donc $t$ existe et vaut $-1$, et par là, A est bien sur $d$.

Par ailleurs, $d$ a pour vecteur directeur ${u}↖{→}$( -3 ; 0 ; 5 ).
Et (AC) a pour vecteur directeur ${AC}↖{→}$( -12 ; 0 ; 20 ).
On note alors que ${AC}↖{→}=4{u}↖{→}$. Les deux vecteurs directeurs sont donc colinéaires, et par là, les droites sont bien parallèles.

Finalement, ne représentation paramétrique de la droite (AC) est bien $\{\table x=9-3t; y=0;z=5+5t$.

L'affirmation 3 est fausse.
Démonstration: il suffit de montrer que ni D, ni E n'est sur $P$.

On a: $2_D+y_D-2z_D-5=2×2+7-2×(-6)-5=18$.
Donc $2_D+y_D-2z_D-5≠0$, donc $D∉P$.

On a: $2_E+y_E-2z_E-5=2×7+3-2×(-3)-5=18$.
Donc $2_E+y_E-2z_E-5≠0$, donc $E∉P$.

Finalement, la droite (DE) et le plan $P$ n'ont pas de point commun.

L'affirmation 4 est vraie.
Démonstration:
Le plan (ABC) a pour vecteurs directeurs ${AB}↖{→}$( -12 ; -15 ; 0 ) et ${AC}↖{→}$( -12 ; 0 ; 20 ).
La droite (DE) a pour vecteur directeur ${DE}↖{→}$( 5 ; -4 ; 3 ).

${AB}↖{→}.{DE}↖{→}=(-12)×5+(-15)×(-4)+0×3=0$.
${AC}↖{→}.{DE}↖{→}=(-12)×5+0×(-4)+20×3=0$.

Par conséquent, la droite (DE) est orthogonale au plan (ABC).

Corrigé de l'exercice 3

Partie A

1. 1. La fonction $g$, clairement dérivable, est donc continue.
      De plus, il est admis que $g$ est positive sur $[0;1]$, donc elle l'est sur $[0;a]$ car $0≤a≤1$.
      Par conséquent, $$A_1=∫_0^a g(t)dt$$
      Soit: $$A_1=∫_0^a (1+e^{-t})dt=[t-e^{-t}]_0^a=a-e^{-a }-(0-e^{-0})=a-e^{-a}+1$$.
      Soit: $$A_1=a-e^{-a}+1$$.
   
   
   2. De même, on obtient: $$A_2=∫_a^1 g(t)dt=[t-e^{-t}]_a^1=1-e^{-1}-(a-e^{-a })=-a+e^{-a}+1-e^{-1}$$.
      Soit: $$A_2=-a+e^{-a}+1-e^{-1}$$.


2. 1. $f\,'(x)=2-2e^{-x}(-1)+0=2+2e^{-x}$.
      $f\,'(x)$ est donc une somme de 2 termes strictement positifs, et par là, $f\,'(x)$ est strictement positif, et c'est vrai pour tout $x$ de $[0;1]$.
      Donc $f$ est strictement croissante, d'où le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;1]$.
      
      On note que: $f(0)=0-2e^{0}+{1}/{e}={1}/{e}-2≈-1,6$ et $f(1)=2-2e^{-1}+{1}/{e}=2-2{1}/{e}+{1}/{e}=2-{1}/{e}≈1,6$
   
   

   2. D'après le tableau de variation ci-dessus, la fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $\[0;1\]$.
      Or 0 est un nombre compris entre $f(0)$ et $f(1)$,
      Donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $α$ sur $\[0;1\]$.
      Nous déterminons $α$ par essais successifs.
      
      Donc $α≈0,45$ (arrondie au centième).



3. D'après le 1., les aires $A_1$ et $A_2$ sont égales pour $a$ solution de l'équation: $a-e^{-a}+1=-a+e^{-a}+1-e^{-1}$.
   Soit: $a-e^{-a}+1+a-e^{-a}-1+e^{-1}=0$.
   Soit: $2a-2e^{-a}+e^{-1}=0$.
   Soit: $f(a)=0$.
   Donc, d'après le 2., les aires $A_1$ et $A_2$ sont égales pour $a≈0,45$ (arrondie au centième).

Partie B

1. Notons que $g(1)=1+{1}/{e}$.
   Pour $b$=$1+{1}/{e}$, le domaine $D$ se partage alors selon le dessin suivant.
   
   Il est graphiquement évident que les aires des 2 sous domaines ne sont pas égales, et que cela sera pire encore si $b$>$1+{1}/{e}$. Donc $b$<$1+{1}/{e}$.


2. D'après la question précédente, le domaine doit donc se partager en 2 sous domaines dont l'un d'eux est un rectangle R de côtés 1 et $b$, et donc d'aire $b$.
   Or, l'aire totale de $D$ est $A_1+A_2=a-e^{-a}+1-a+e^{-a}+1-e^{-1}=2-{1}/{e}$.
   La moitié de cette aire vaut donc $A_{m}={1}/{2}(2-{1}/{e})=1-{1}/{2e}$.
   C'est la valeur exacte de $b$ cherchée.
   On a donc $b=1-{1}/{2e}$.
   Pour le plaisir, notons alors le partage équitable obtenu ci-dessous.
   
   

Corrigé de l'exercice 4

PARTIE A - Algorithmique et conjectures

1. Algorithme complété:
   
   $n$ ← 1.
   $u$ ← 1,5
   Tant que $n$<$9$
      $u$ ← $(n×u)/(2×(n+1)$
      $n$ ← $n+1$
   Fin tant que
   
   


2. Algorithme modifié en rajoutant la ligne "Afficher $u$" :
   $n$ ← 1.
   $u$ ← 1,5
   Tant que $n$<$9$
      $u$ ← $(n×u)/(2×(n+1)$
      Afficher $u$
      $n$ ← $n+1$
   Fin tant que
   
   On notera que $u_1$ n'est pas affiché, et que $u_9$ ne s'affiche qu'une fois.
   Pour que $u_1$ s'affiche également, on aurait pu modifier l'algorithme comme suit:
   $n$ ← 1.
   $u$ ← 1,5
   Tant que $n$<$9$
      Afficher $u$
      $u$ ← $(n×u)/(2×(n+1)$
      $n$ ← $n+1$
   Fin tant que
   Afficher $u$
   


3. Compte tenu du tableau de valeurs proposé, il semble que la suite $(u_n)$ soit strictement décroissante et tende vers 0.

PARTIE B - Etude mathématique
On définit la suite auxiliaire $(v_n)$ par: pour tout entier $n$, $v_n=nu_n-1$.

1. Soit $n$ un entier naturel.
   $v_{n+1}=(n+1)u_{n+1}-1=(n+1){nu_n+1}/{2(n+1)}-1={(n+1)(nu_n+1)-2(n+1)}/{2(n+1)}$
   Soit: $v_{n+1}={(n+1)nu_n+(n+1)-2(n+1)}/{2(n+1)}={(n+1)nu_n-(n+1)}/{2(n+1)}={(n+1)(nu_n-1)}/{2(n+1)}={nu_n-1}/{2}$
   Soit: $v_{n+1}={1}/{2}v_n$.
   Et c'est vrai pour tout entier naturel $n$.
   Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison ${1}/{2}$. Son premier terme est $v_1=1×u_1-1={3}/{2}-1={1}/{2}$.


2. Soit $n$ un entier naturel non nul.
   $v_n=nu_n-1$ donne $u_n={v_n+1}/{n}$.
   Or, comme $(v_n)$ est géométrique de raison ${1}/{2}$ de premier terme $v_1={1}/{2}$, on a: $v_n={1}/{2}×({1}/{2})^{n-1}=0,5^n$.
   Donc on obtient: $u_n={0,5^n+1}/{n}$. Soit: $u_n={1+0,5^n}/{n}$.


3. Comme $0$<$0,5$<$1$, on a: $\lim↙{n→+∞}{0,5^n}=0$, et par là: $\lim↙{n→+∞}{1+0,5^n}=1+0,5×0=1$.
   
   Et comme $\lim↙{n→+∞}{n}=+∞$, on obtient finalement: $\lim↙{n→+∞}{(u_n)}=0$.


4. Soit $n$ un entier naturel non nul.
   $u_{n+1}-u_n= {1+0,5^{n+1}}/{n+1}-{1+0,5^n}/{n}={n(1+0,5^{n+1})-(n+1)(1+0,5^n)}/{n(n+1)}$
   Soit: $u_{n+1}-u_n={n+n0,5^{n+1}-(n+1)-(n+1)0,5^n}/{n(n+1)}={n+(0,5n-n-1)0,5^{n}-n-1}/{n(n+1)}$
   Soit: $u_{n+1}-u_n={(-0,5n-1)0,5^{n}-1}/{n(n+1)}=-{1+(1+0,5n)0,5^n}/{n(n+1)} $.
   $n$ étant un entier naturel non nul, numérateur et dénominateur du quotient ci-dessus sont strictement positifs.
   Et par là, $u_{n+1}-u_n$ est strictement négatif.
   Ceci étant vrai pour tout entier $n≥1$, on en déduit que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

PARTIE C - Retour à l'algorithmique
Voici un algorithme convenable:
$n$ ← 1.
$u$ ← 1,5
Tant que $u≥0,001$
   $u$ ← $(n×u)/(2×(n+1)$
   $n$ ← $n+1$
Fin tant que

A la fin de l'exécution de cet algorithme, la valeur de $n$ cherchée sera contenue dans la variable $n$.