Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Annales

Amérique du Nord 2013

Exercice 1

4 points       Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

  1. Pour tout réel $a$ non nul, le nombre réel $e^{-{1}/{a}}$ est égal à :
    a) $-e^{{1}/{a}}$       b) ${1}/{e^{{1}/{a}}}$       c) ${1}/{e^{a}}$       d) $e^{a}$

  2. Pour tout réel $a$, le nombre réel $e^{{a}/{2}}$ est égal à :
    a) $√{e^{a}}$       b) $e^{a}/{2}$       c) ${e^a}/{e^2}$       d) $e^{√{a}}$

  3. Pour tout réel $x\text"<"0$, le nombre réel $\ln{(-{1}/{x})}$ est égal à :
    a) $\ln x$       b) $-\ln (-x)$       c) $-\ln(x)$       d) ${1}/{\ln(-x)}$

  4. On donne la fonction $f$ définie sur $]0;+∞[$ par $f(x) = x\ln x$.
    La dérivée de $f$ est définie sur $]0;+∞[$ par:
    a) $f\,'(x)=1$       b) $f\,'(x)=\ln x$       c) $f\,'(x)={1}/{x}$       d) $f\,'(x)=\ln x+1$

Solution...
Corrigé
  1. Réponse b)
    Preuve:
    Cela tient au fait que, pour tout $x$: $e^{-x}={1}/{e^x}$

  2. Réponse a)
    Preuve:
    Cela tient au fait que, pour tout $x$: $e^{{x}/{2}}e^{{x}/{2}}=e^{x}$.
    Et par là, comme $e^{{x}/{2}}\text">"0$, on obtient: $e^{{x}/{2}}= √{e^{x}}$.

  3. Réponse b)
    Preuve:
    $\ln{(-{1}/{x})}=\ln{1}/{-x}=\ln{1}-\ln(-x)=0-\ln(-x)=-\ln(-x)$.

  4. Réponse d)
    Preuve:
    On pose $f=uv$, avec $u=x$ et $v=\ln x$.
    Donc $f\,'=u'v+uv'$, avec $u'=1$ et $v'={1}/{x}$.
    Et par là: $f\,'(x)=1×\ln x+x×{1}/{x}=\ln x+1$.
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Exercice 2

5 points       Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près.

  1. Une étude interne à une grande banque a montré qu'on peut estimer que l'âge moyen d'un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée X, qui suit la loi normale de moyenne 40,5 et d'écart type 12.

    a. Calculer la probabilité que le client demandeur d'un prêt soit d'un âge compris entre 30 et 35 ans.

    b. Calculer la probabilité que le client n'ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans.

  2. Dans un slogan publicitaire, la banque affirme que 75 % des demandes de prêts immobiliers sont acceptées.
    Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1000 demandes choisies au hasard et de façon indépendante, associe la fréquence de demandes de prêt immobilier acceptées.

    a. Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de prêts acceptés par la banque.

    b. Dans une agence de cette banque, on a observé que, sur les 1000 dernières demandes effectuées, 600 demandes ont été acceptées.
    Énoncer une règle de décision permettant de valider ou non le slogan publicitaire de la banque, au niveau de confiance 95 %.

    c. Que peut-on penser du slogan publicitaire de la banque ?

Solution...
Corrigé

Dans cet exercice, les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près.

  1. a. X, suit la loi normale de moyenne 40,5 et d'écart type 12. Avec la calculatrice, on obtient : $p(30≤X≤35)≈0,133$.
    La probabilité que le client demandeur d'un prêt soit d'un âge compris entre 30 et 35 ans vaut environ 0,133.

    b. $p(x\text">"55)=1-p(X≤55)$.
    Or $p(X≤55)≈0,887$ (à la calculatrice en calculant $p(10^{-99}≤X≤55)$).
    Donc, on obtient: $p(x\text">"55)≈0,113$.
    La probabilité que le client n'ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans vaut environ 0,113.

  2. a. $n=1000$, $n⁢p=750$ et $n(⁢1-p)=250$.
    On a: $n≥30$ et $np≥5$ et $n(⁢1-p)≥5$.
    Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont donc réunies.
    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est :
    $I=[0,75-1,96×√{{0,75×0,25}/{1000}};0,75+1,96×√{{0,75×0,25}/{1000}}]$
    Soit en arrondissant à $10^{-3}$ près par défaut la borne inférieure de l'intervalle, et à $10^{-3}$ près par excès la borne supérieure de l'intervalle, on obtient $I=[0,723;0,777]$.

    b. Soit $f$ la fréquence observée du nombre de demandes de prêts immobiliers acceptées dans un échantillon de taille 1000.
    Si $f$ appartient à l'intervalle I on accepte l'hypothèse du slogan publicitaire.
    Si $f$ n'appartient pas à l'intervalle I on rejette l'hypothèse du slogan publicitaire.

    c. On considère que les 1000 dernières demandes effectuées constituent un échantillon aléatoire de taille 1000 de l'ensemble des demandes de prêts immobiliers auprès de cette banque.
    La fréquence observée dans cet échantillon est $f={600}/{1000}=0,6$.
    Or $0,6$ n'appartient pas à I.
    On rejette donc l'hypothèse selon laquelle « 75 % des demandes de prêts immobiliers sont acceptées », le risque de rejeter l'hypothèse à tort est environ 5%.

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Exercice 3

5 points       Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d'ouvrir une médiathèque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total.
Pour l'ouverture prévue le 1er janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l'ancienne bibliothèque augmenté de 7000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

PARTIE A
Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d'acheter 6000 ouvrages neufs.
On appelle $u_n$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1er janvier de l'année $2013 + n$. On donne $u_0=42$.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=u_n×0,95+6$.

  2. On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel. Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.
    variables :
    U, N
    initialisation :
    Mettre 42 dans U
    Mettre 0 dans N
    traitement :
    Tant que U<100
          U prend la valeur U×0,95+6
          N prend la valeur N+1
    Fin du Tant que
    sortie :
    Afficher N

  3. À l'aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme.

PARTIE B
La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6000 prévus.
On appelle $v_n$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1er janvier de l'année $2013 + n$.

  1. Identifier et écrire la ligne qu'il faut modifier dans l'algorithme pour prendre en compte ce changement.

  2. On admet que $v_{n+1}=v_n×0,95+4$ avec $v_0=42$. On considère la suite $w_n$ définie, pour tout entier $n$, par $w_n=v_n-80$.
    Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,95$ et préciser son premier terme $w_0$.

  3. On admet que, pour tout entier naturel $n$ : $w_n=-38×0,95^n$.

    a. Déterminer la limite de $w_n$.

    b. En déduire la limite de $v_n$.

    c. Interpréter ce résultat.

Solution...
Corrigé
  1. Si 5% des ouvrages sont supprimés, il en reste 95%. Par ailleurs,6 milliers d'ouvrages neufs sont achetés. Donc: pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=u_n×0,95+6$.

  2. L'algorithme proposé permet de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n≥100$.
    On obtient ainsi l'année $2013 + n$ à partir de laquelle la médiathèque disposera d'un stock supérieur à 100 000 ouvrages.

  3. La calculatrice affiche 27. Donc à partir de 2040, la médiathèque disposera d'un stock supérieur à 100 000 ouvrages.

PARTIE B

  1. On modifie ainsi l'intruction : U prend la valeur U×0,95+6

  2. Pour tout entier $n$, $w_{n+1}=v_{n+1}-80$.
    Soit: $w_{n+1}==0,95⁢v_n+4-80=0,95⁢v_n-76=0,95×v_n-80=0,95⁢w_n$.
    Donc, pour tout entier $n$, $w_{n+1}=0,95⁢w_n$.
    Et par là, la suite $(w_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95.
    Par ailleurs: $w_0=v_0-80=42-80=-38$.
    Ainsi, la suite $(w_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $w_0=-38$.

  3. a. $(w_n)$ est géométrique de raison 0,95 et de premier terme $w_0=-38$.
    Donc, pour tout entier $n$, $w_n=-38×0,95^n$.
    Or, comme $0\text"<"0,95\text"<"1$, ona: $\lim↙{n→+∞}(0,95^n)=0$.
    Donc $\lim↙{n→+∞} w_n=-38×0=0$.

    b. Pour tout entier $n$, $v_n=w_n+80$.
    Et comme $\lim↙{n→+∞} w_n=0$, on obtient $\lim↙{n→+∞} v_n=80$.

    c. Le nombre d'ouvrages de la médiathèque tend vers 80 000 avec les années.

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Exercice 4

6 points       Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ dont la courbe représentative $C_f$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé.
amerique1
PARTIE A
On suppose que $f$ est de la forme $f⁡(x)=(b-x⁢)e^{a⁢x}$ où $a$ et $b$ désignent deux constantes.
On sait que :

  • Les points $A(0;2)$ et $D(2;0)$ appartiennent à la courbe $C_f$.
  • La tangente à la courbe $C_f$ au point A est parallèle à l'axe des abscisses.

On note $f′$ la fonction dérivée de $f$, définie sur $ℝ$.

  1. Par lecture graphique, indiquer les valeurs de $f(⁡2)$ et $f′(⁡0$).

  2. Calculer $f′⁡(x)$.

  3. En utilisant les questions précédentes, montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système suivant : $\{\table b-2=0; a⁢b-1=0$

  4. Calculer $a$ et $b$ et donner l'expression de $f⁡(x)$.

PARTIE B
On admet que $f⁡(x)=(-x+2)⁢e^{0,5⁢x}$.

  1. À l'aide de la figure 1, justifier que la valeur de l'intégrale $$∫_0^2f(⁡x⁢)dx$$ est comprise entre 2 et 4.

  2. a. On considère F la fonction définie sur $ℝ$ par $F⁡(x)=(-2⁢x+8⁢)e^{0,5⁢x}$.
    Montrer que F est une primitive de la fonction $f$ sur $ℝ$.
    b. Calculer la valeur exacte de $$∫_0^2f(⁡x⁢)dx$$ et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

  3. On considère G une autre primitive de $f$ sur $ℝ$.
    Parmi les trois courbes $C_1$, $C_2$ et $C_3$ ci-dessous, une seule est la représentation graphique de G.
    Déterminer la courbe qui convient et justifier la réponse.
    amerique2
Solution...
Corrigé

PARTIE A

  1. $f(⁡2)=0$
    $f′(⁡0)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\C_f$ en 0, qui est parallèle à l'axe des abscisses (car $f(0)$ est un maximum), et par là, $f\,'(0)=0$.

  2. On pose $f=uv$ avec $u=b-x$ et $v=e^{ax}$.
    Donc $f\,'=u'v+uv'$ avec $u'=-1$ et $v'=ae^{ax}$.
    Et par là: $f′⁡(x)=(-1)×e^{ax}+(b-x)×ae^{ax}=(-1+(b-x)×a)e^{ax}=(-1+ab-ax)e^{ax}$.

  3. $f(⁡2)=0$, et donc: $(b-2)e^{2a}=0$, et comme une exponentielle est strictement positive (et donc non nulle), on obtient: $b-2=0$.
    $f′(⁡0)=0$, et donc: $(-1+ab)e^{0}=0$, soit: $(-1+ab)×1=0$, soit $ab-1=0$.
    Donc $a$ et $b$ sont solutions du système suivant : $\{\table b-2=0; a⁢b-1=0$

  4. On obtient facilement: $b=2$, puis $a={1}/{2}=0,5$.
    D'où: $f⁡(x)=(-x+2)⁢e^{0,5⁢x}$.

PARTIE B

  1. D'après la figure 1, pour $x$ entre 0 et 2, la courbe $C_f$ est située au dessus de l'axe des abscisses.
    Donc la fonction $f$ est positive sur $[0;2]$.
    De plus, il est clair qu'elle est continue.
    Par conséquent, l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$ est égale à l'intégrale $$S=∫_0^2f(⁡x⁢)dx$$.
    Or, il est clair que cette aire $S$ est comprise entre l'aire du carré OACD de côté 2 (égale à 4) et l'aire du triangle rectangle isocèle OAD (égale à 2).
    Donc finalement: $$2≤∫_0^2f(⁡x⁢)dx≤4$$.

  2. a. On pose $u=-2x+8$ et $v=e^{0,5⁢x}$. Donc $u'=-2$ et $v'=0,5e^{0,5⁢x}$.
    Ici $F=uv$, et donc $F'=u'v+uv'$.
    Par conséquent: $F'(x)=-2e^{0,5⁢x}+(-2x+8)0,5e^{0,5⁢x}$.
    Soit, en factorisant: $F'(x)=(-2+(-2x+8)0,5)e^{0,5⁢x}=(-2-x+4)e^{0,5⁢x}$.
    Soit: $F'(x)=(-x+2)e^{0,5⁢x}=f(x)$.
    Donc $F'=f$ sur $ℝ$, et par là, $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $ℝ$.
    b. $$∫_0^2f(⁡x⁢)dx=F(2)-F(0)=(-4+8⁢)e^{1}-(-0+8⁢)e^{0}=4e-8≈2,87$$.

  3. Comme G est une primitive de $f$ sur $ℝ$, on a $G'=f$.
    Donc $G$ est croissante si et seulement si $f$ est positive, c'est à dire pour $x$ inférieur à 2 , et $G$ est décroissante si et seulement si $f$ est négative, c'est à dire pour $x$ supérieur à 2.
    La seule courbe convenable est $C_3$.
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