Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Annales

Polynésie 2013

Exercice 1

5 points       Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par : $f(⁡x)=x⁢e^{-x}$.

  1. L'image $f⁡(\ln ⁡ 2)$ de $\ln ⁡2$ par $f$ est égale à :
    a) $\ln 2$       b) $-2\ln 2$       c) $2\ln 2$       d) ${1}/{2}\ln 2$

  2. $f$ est dérivable sur $ℝ$ et on note $f′$ sa fonction dérivée.
    Alors, pour tout nombre réel $x$, on a :
    a) $f\,'(x)=e^{-x}$       b) $f\,'(x)=-e^{-x}$       c) $f\,'(x)=(1-x)e^{-x}$       d) $f\,'(x)=(1+x)e^{-x}$

  3. L'équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d'abscisse 0 est :
    a) $y=2x$       b) $y=x-1$       c) $y=x$       d) $y=2x-1$

  4. La fonction $f$ est :
    a) concave sur $[0;1]$       b) concave sur $[0;+∞[$
    c) convexe sur $[0;+∞[$       d) convexe sur $[0;1]$

  5. L'intégrale $$∫_0^1 f(x)dx$$ est égale à:
    a) $e-5$       b) $5$       c) ${e-2}/{e}$       d) $1$

Solution...
Corrigé
  1. Réponse d)
    Preuve:
    $f(\ln 2)=\ln 2 ×e^{-\ln 2}=\ln 2× e^{\ln (2^{-1})}=\ln 2× 2^{-1}=\ln 2 ×{1}/{2}={1}/{2}\ln 2$

  2. Réponse c)
    Preuve:
    On pose $f=uv$, avec $u=x$ et $v=e^{-x}$.
    Donc $f\,'=u'v+uv'$, avec $u'=1$ et $v'=(-1)×e^{-x}$.
    Et par là: $f\,'(x)=1×e^{-x}+x×(-1)×e^{-x}=(1-x)e^{-x}$.

  3. Réponse c)
    Preuve:
    La tangente en $x_0$ a pour équation $y=f(x_0)+f\,'(x_0)(x-x_0)$.
    Ici: $x_0=0$,      $f(x_0)=0×e^{-0}=0$,        $f\,'(x_0)=(1-0)e^{-0}=1$.
    D'où l'équation: $y=0+1(x-0)$, soit:$y=x$.

  4. Réponse a)
    Preuve:
    On étudie la convexité grâce au signe de $f"$.
    On pose $f\,'=uv$, avec $u=1-x$ et $v=e^{-x}$.
    Donc $f"=u'v+uv'$, avec $u'=-1$ et $v'=(-1)×e^{-x}$.
    Et par là: $f"(x)=(-1)×e^{-x}+(1-x)×(-1)×e^{-x}=(-1-1+x)e^{-x}=(x-2)e^{-x}$.
    Comme une exponentielle est strictement positive, $f"$ est du signe de $x-2$, qui s'annule en 2, est strictement négative pour $x\text"<"2$, est strictement positive pour $x\text">"2$.
    En particulier, $f"(x)\text"<"0$ pour $x$ dans $[0;1]$.
    Et par là, $f$ est concave sur $[0;1]$.

  5. Réponse c)
    Preuve:
    $$∫_0^1 f(x)dx=∫_0^1 xe^{-x}dx$$.
    $f$ est un produit. Or, on ne sait pas trouver de primitive d'un produit,
    sauf dans le cas où le produit est du type $ku'$ (dont une primitive est $ku$),
    ou du type $u'e^u$ (dont une primitive est $e^u$).
    Nous ne sommes dans aucun de ces cas, donc nous ne pouvons pas trouver de primitive à $f$ (dans le cadre du programme de terminale ES)!
    Seules méthodes: avoir une calculatrice qui donne une valeur approchée de l'intégrale,
    ou estimer graphiquement l'aire sous la courbe de la fonction $f$ qui est bien continue et positive sur $[0;1]$.
    Dans tous les cas, on obtient $$∫_0^1 f(x)dx≈0,3$$, ce qui permet, par élimination, de proposer la réponse c.
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Exercice 2

5 points       Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une agence de voyage propose des formules week-end à Londres au départ de Paris pour lesquelles le transport et l'hôtel sont compris.
Les clients doivent choisir entre les deux formules :
« avion + hôtel » ou « train + hôtel »
et peuvent compléter ou non leur formule par une option « visites guidées ».
Une étude a produit les données suivantes :

  • 40% des clients optent pour la formule « avion + hôtel »
    et les autres pour la formule « train + hôtel » ;
  • parmi les clients ayant choisi la formule « train + hôtel », 50% choisissent aussi l'option « visites guidées » ;
  • 12% des clients ont choisi la formule « avion + hôtel » et l'option « visites guidées ».

On interroge au hasard un client de l'agence ayant souscrit à une formule week-end à Londres.
On note :
A l'événement : le client interrogé a choisi la formule « avion + hôtel » ;
T l'événement : le client interrogé a choisi la formule « train + hôtel » ;
V l'événement : le client interrogé a choisi l'option « visites guidées ».

  1. a. Quelle est la probabilité de l'événement : le client interrogé a choisi la formule « avion + hôtel » et l'option « visites guidées » ?

    b. Calculer la probabilité $P_A(V)$.

    c. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

  2. a. Montrer que la probabilité pour que le client interrogé ait choisi l'option « visites guidées » est égale à 0,42.

    b. Calculer la probabilité pour que le client interrogé ait pris l'avion sachant qu'il n'a pas choisi l'option « visites guidées ». Arrondir le résultat au millième.

    c. L'agence pratique les prix (par personne) suivants :
    Formule « avion + hôtel » : 390 €
    Formule « train + hôtel » : 510 €
    Option « visites guidées » : 100 €
    Quel montant du chiffre d'affaires l'agence de voyage peut-elle espérer obtenir avec 50 clients qui choisissent un week-end à Londres ?
Solution...
Corrigé
  1. a. 12% des clients ont choisi la formule « avion + hôtel » et l'option « visites guidées » donc la probabilité cherchée est $p(A∩V)=0,12$
    b. Il est clair que $p(A)=0,4$.
    D'où: $P_A(V)={p(A∩V)}/{p(A)}={0,12}/{0,4}=0,3$.
    c. Arbre pondéré:
    polynesie1
  2. a. La probabilité cherchée est $p(V)=p(A∩V)+p(T∩V)$ (par application de la formule des probabilités totales).
    Or $p(T∩V)=p(T)×p_T(V)=0,6×0,5=0,3$ (par application de la seconde règle).
    Donc, on obtient: $p(V)=0,12+0,3=0,42$.
    b. Il est clair que $p({V}↖{−})=1-p(V)=0,58$.
    On cherche $p_{{V}↖{−}}(A)={p(A∩{V}↖{−})}/{p({V}↖{−})}$.
    Or: $p(A∩{V}↖{−})=p(A)×p_A({V}↖{−})=0,4×0,7=0,28$ (par application de la seconde règle).
    Donc: $p_{{V}↖{−}}(A)={0,28}/{0,58}=0,448$
    c. Soit X la variable aléatoire donnant le prix payé pour un client pris au hasard.
    On obtient facilement: $p(A∩V)=p(X=490)$, et donc: $0,12=p(X=490)$.
    De même:$p((A∩{V}↖{−})=p(X=390)$, et donc: $0,28=p(X=390)$.
    $p((T∩V)=p(X=610)$, et donc: $0,30=p(X=610)$.
    $p((T∩{V}↖{−})=p(X=510)$, et donc: $0,30=p(X=510)$.
    La loi de probabilité de X est résumée ci-dessous.
    polynesie2
    Son espérance est: $E(X)=0,28×390+0,12×490+0,3×510+0,3×610=504$.
    Le chiffre d'affaire est donné par la variable aléatoire $Y=50X$.
    Son espérance vaut: $E(Y)=50×E(X)=50×504=25\,200$. L'agence de voyage peut donc espérer réaliser un chiffre d'affaires de 25 200 €.
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Exercice 3

5 points       Commun à tous les candidats

La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la Polynésie Française.
Les montants réalisés à l'exportation des produits perliers de 2008 à 2011 sont donnés dans le tableau suivant, en milliers d'euros :

polynesie3
  1. Montrer que le taux d'évolution annuel moyen des montants à l'exportation des produits perliers de Polynésie entre 2008 et 2011 est -8,06% arrondi au centième.
    On admet pour la suite de l'exercice, que la production continuera à baisser de 8% par an à partir de 2011.

  2. On considère l'algorithme suivant :
    Entrée :
    Saisir un nombre positif P

    Traitement :
    Affecter la valeur 0 à la variable N {initialisation}
    Affecter la valeur 63 182 à U {initialisation}
    Tant que U > P
           Affecter la valeur N + 1 à N
           Affecter la valeur 0,92 × U à U
    Fin de Tant que
    Affecter la valeur N + 2011 à N

    Sortie :
    Afficher N

    Si on saisit P = 50 000 en entrée, qu'obtient-on en sortie par cet algorithme ?
    Interpréter ce résultat dans le contexte de la production de perles.

  3. Pour prévoir les montants réalisés à l'exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite $u_n$.
    On note $u_0$ le montant en 2011, en milliers d'euros, et $u_n$ le montant en $2011 + n$ , en milliers d'euros.
    On a donc $u_0=63\, 182$ et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8%.
    a. Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
    c. Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l'exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016 ? On arrondira le résultat au millier d'euros.

  4. Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l'on peut prévoir avec ce modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu'à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d'euros.
Solution...
Corrigé
  1. Soit t% le taux d'évolution cherché.
    $t$ vérifie l'équation: $81295×(1+{t}/{100})^3=63182$, et donc: $(1+{t}/{100})^3={63182}/{81295}$
    Méthode rapide (à la limite du programme): $1+{t}/{100}=({63182}/{81295})^{{1}/{3}}≈0,919$.
    Et donc ${t}/{100}≈0,9194-1≈-0,0806$.
    Et par là: $t≈8,06$.
    Méthode lente (conforme au programme): $\ln((1+{t}/{100})^3)=\ln({63182}/{81295})$.
    Et donc: $3\ln(1+{t}/{100})=\ln({63182}/{81295})$.
    D'où: $\ln(1+{t}/{100})={\ln({63182}/{81295})}/{3}$.
    Et finalement: $e^{\ln(1+{t}/{100})}=e^{({\ln({63182}/{81295})}/{3})}$.
    Soit: $1+{t}/{100}=e^{{\ln({63182}/{81295})}/{3}}≈0,919$.
    Et la fin est la même que dans la première méthode!
    Dans tous les cas, le taux proposé est $-0,0806$, ce qui est arrondi à 0,0001 près!
    Un taux correctement arrondi au centième serait $-0,08$, ce qui est utilisé par la suite!
  2. Comme le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 8% par an est 0,92, il est clair que cet algorithme permet de déterminer l'année à partir de laquelle le montant des produits perliers sera inférieur à la valeur P saisie au départ.
    Pour P=50 000, il donne N=3, et affiche donc 2014.
    Les montants des produits perliers seront inférieurs à 50 000 milliers d'euros à partir de 2014.
  3. a. Pour tout $n$ entier naturel, on a: $u_{n+1}=0,92u_n$, et par là, $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,92.
    b. Et donc, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n=u_0×0,92^n$, soit: $u_n=63\,182×0,92^n$.
    c. 2016 donne $n=5$. Or $u_5=63\,182×0,92^5≈41\,642$
    Avec ce modèle,on prévoir $41\,642$ milliers d'euros pour l'exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016.
  4. On cherche: $u_0+u_1+...+u_{9}=u_0{1-0,92^{10}}/{1-0,92}=63\,182×{1-0,92^{10}}/{1-0,92}≈446\,706$.
    Le montant cumulé cherché est de $446\,706$ milliers d'euros.
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Exercice 4

5 points       Commun à tous les candidats

On s'intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.
Partie A . étude de la zone 1
On note X la variable aléatoire qui à chaque poisson observé dans la zone 1 associe sa taille en cm.
Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $μ$ et d'écart type $σ=30$.
La courbe de la densité de probabilité associée à $X$ est représentée ci-dessous. polynesie4

  1. Par lecture graphique, donner la valeur de $μ$.
  2. On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, d'avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm.
  3. Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il mesure plus de 120 cm.
    On pêche un poisson de l'espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, de pêcher un poisson adulte.
  4. On considère un nombre $k$ strictement plus grand que la valeur moyenne $μ$.
    Est-il vrai que $p(X\text"<"k)\text"<"0,5$ ? Justifier.

Partie B . étude de la zone 2

  1. Certains poissons de la zone 2 sont atteints d'une maladie.
    On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons de cette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades.
    a. Calculer la fréquence $f$ de poissons malades dans l'échantillon.
    b. Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95%, de la proportion $p$ de poissons malades dans toute la zone 2. On arrondira les bornes au millième.
  2. Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque poisson de l'espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm.
    On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne $μ'=205$ et d'écart type $σ'=40$.
    En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1 qui représente une loi normale d'écart type $σ=30$, dire laquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité de la variable aléatoire Y. Justifier la réponse.
    polynesie5 polynesie6 polynesie7
Solution...
Corrigé
  1. $μ$ est l'antécédent du maximum de la fonction de densité. Donc $μ=150$.
  2. La probabilité cherchée est $p(150⩽X⩽210)≈0,48$ (à la calculatrice).
  3. On cherche $p(X\text">"150)$.
    Cela s'obtient à la calculatrice en l'approchant par $p(150\text"<"X\text"<"10^{99})$.
    On obtient alors: $p(X\text">"150)≈0,84$.
  4. L'affirmation est fausse. En effet:
    $p(X\text"<"k)=p(X\text"<"μ)+p(μ\text"<"X\text"<"k)$.
    Or: $p(X\text"<"μ)=0,5$ et $p(μ\text"<"X\text"<"k)\text">"0$.
    Donc, $p(X\text"<"k)\text">"0,5$.

Partie B . étude de la zone 2

  1. a. La fréquence observée est $f={15}/{50}=0,3$.
    b. Avec les notations usuelles, on pose: $n=50$, $f=0,3$.
    On a: $n≥30$.
    De plus: $nf=15$ et $n(1-f)=35$; et par là: $nf≥5$ et $n(1-f)≥5$.
    Les conditions d'approximation sont donc vérifiées.
    $f-{1}/{√{n}}=0,3-{1}/{√{50}}≈0,159$ .
    $f+{1}/{√{n}}=0,3+{1}/{√{50}}≈0,441$ .
    L'intervalle de confiance pour la proportion $p$ au niveau de confiance de $95\%$ vaut environ $[0,159;0,441]$.
    Donc on peut parier que la proportion $p$ de poissons malades dans toute la zone 2 est dedans, et la probabilité de gagner ce pari vaut au moins 0,95.
  2. On procède par élimination.
    $μ'=205$, et par là, le maximum de la fonction de densité est atteint pour $x=205$. Donc la courbe 3 ne convient pas.
    $σ'=40$, et cet écart type est inférieur à celui de la densité $f$ de X. La dispersion autour de la moyenne est donc plus grande que celle de la courbe de $f$, et la courbe cherchée est donc plus aplatie que celle de $f$. Donc la courbe 2 ne convient pas.
    La courbe 1 représente donc la densité de probabilité de Y.
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