Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Loi binomiale

Exercice 1

Le directeur de l'entreprise Gexploat a classé ses salariés en fonction de leur investissement dans la société.
Il a distingué 3 groupes:
groupe A formé des 30% des salariés qui s'investissent peu.
groupe B formé des 50% des salariés dont l'investissement est acceptable.
groupe C formé des 20% des salariés dont l'investissement est important.
Le directeur choisit 10 fois de suite un salarié au hasard (les 10 choix sont donc indépendants), et obtient ainsi un échantillon de 10 salariés.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de salariés du groupe A dans l'échantillon.
On définit de même Y qui donne le nombre de salariés du groupe B et Z qui donne le nombre de salariés du groupe C.

Que dire de X, de Y et de Z?
Déterminer $p(X=2)$, $p(X≥3)$, $E(X)$ (arrondies à 0,001 près).
Déterminer $E(X)$, $E(Y)$ et $E(Z)$.


Solution...
Corrigé

Examinons X.
On peut restreindre chaque choix à 2 éventualités:
le salarié est du groupe A (événement considéré comme un "succés" de probabilité 0,30)
ou:
le salarié n'est pas du groupe A.
De plus, les 10 choix sont indépendants.
X dénombre le nombre de succès obtenus.
X est donc une binomiale; plus précisément, on a: $X=B (\,10\,;\,0,30\,)$.
De même, on obtient: $Y=B (\,10\,;\,0,50\,)$ On a: $Y=B (\,10\,;\,0,50\,)$.
De même, on obtient: $Z=B (\,10\,;\,0,50\,)$ On a: $Z=B (\,10\,;\,0,20\,)$.

A la calculatrice, on obtient: $p(X=2)≈0,233$.

$p(X≥3)=1-p(X\text"<"3)=1-p(X≤2)≈1-0,383≈0,617$.

$E(X)=10×0,30=3$.
$E(Y)=10×0,50=5$.
$E(Z)=10×0,20=2$.



Remarque: il est clair que $Z=10-X-Y$.
Or, on constate que $E(Z)=10-E(X)-E(Z)$.
C'est une caractéristique de l'espérance, qui s'appelle la linéarité, et qui ne fait pas partie du programme...

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