Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Loi binomiale

Exercice 3

Le réseau de bus d'une certaine ville emploie un certain nombre de contrôleurs pour limiter la fraude. Ainsi, lors d'un trajet, un passager peut se faire contrôler avec une probabilité égale à $0,05$.
Monsieur Rakaï décide de ne jamais prendre de ticket. Il doit prendre le bus 300 fois par an.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de fois où il est contrôlé dans l'année.

1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X.
2. Déterminer $p(X=14)$ et $p(X≥14)$.
On arrondira le résultat au millième.
3. Sur une année, combien de fois en moyenne monsieur Rakaï se fait-il contrôler?
4. Un ticket coûte 1,10 euro. Une amende s'élève à 24 euros. Quelle est la probabilité que monsieur Rakaï paie au moins 330 euros d'amendes dans l'année.
On arrondira le résultat au millième.
5. Quel devrait être le montant de l'amende (arrondi à 0,1 près) pour que la probabilité que monsieur Rakaï perde de l'argent sur l'année soit au moins égale à 0,8?


Solution...
Corrigé

1. L'expérience consiste à répéter 300 fois de manière indépendante une expérience à 2 issues:
S: "monsieur Rakaï est contrôlé"
E:" monsieur Rakaï n'est pas contrôlé"".
On a $p(S)=0,05$.
X dénombre le nombre de S obtenus.
On en déduit que X suit une loi binomiale de paramètres $n=300$ et $p=0,05$.

2. A la calculatrice, on obtient: $p(X=14)≈0,105$.

On cherche $p(X≥14)$.
Or $p(X≥14)=1-p(X\text"<"14)=1-p(X≤13)$.
Et à la calculatrice, on obtient: $p(X≤13)≈0,358$.
Donc $p(X≥14)≈0,642$.

3. On cherche l'espérance de X. On obtient: $E(X)=np=300×0,05=15$.
En moyenne, sur un grand nombre d'années, monsieur Rakaï se fait contrôler 15 fois par an.

4. On calcule: ${330}/{24}=13,75$. Donc monsieur Rakaï paie au moins 330 euros d'amendes dans l'année s'il a été contrôlé au moins 14 fois.
Donc, d'après le 2., la probabilité que monsieur Rakaï paie au moins 330 euros d'amendes dans l'année est d'environ 0,642.

5. On a: $300×1,10=330$. Donc, si monsieur Rakaï payait ses tickets, cela lui coûterait 330 euros dans l'année.
Soit $m$ le montant de l'amende. Or X donne le nombre de fois où il est contrôlé dans l'année.
Donc $X×m$ est la variable aléatoire donnant la somme des amendes payées par monsieur Rakaï dans l'année.
On cherche donc $m$ tel que: $p(X×m$>$330)≥0,8$, c'est à dire que: $p(X$>${330}/{m})≥0,8$.
Ce qui est équivalent à: $p(X≤{330}/{m})$<$0,2$.
Or, à la calculatrice, on obtient: $p(X≤11)≈0,18$ et $p(X≤12)≈0,26$.
Par conséquent: $m$ vérifie l'inéquation ${330}/{m}$<$12$.
On obtient donc: ${330}/{12}$<$m$.
Soit: $27,5$<$m$.
Donc une amende au moins égale à 27,60 euros convient.
Une vérification pour les sceptiques:.
On calcule: ${330}/{27,6}=11,96$. Donc monsieur Rakaï paie au moins 330 euros d'amendes dans l'année s'il a été contrôlé au moins 12 fois.
Et $p(X≥12)=1-p(X\text"<"12)=1-p(X≤11)$.
Or: $p(X≤11)≈0,18$.
Donc $p(X≥12)≈0,82$. Ouf! Cela fonctionne...

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