Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Convexité

Exercice 4

Soit $f$ définie sur $\ℝ$ par $f(x)={1}/{4}x^4-x^3+2x^2+5x+7$ sur $\ℝ$.
Soit $d$ la tangente à $\C_f$ en 0.
La droite $d$ est en dessous de $\C_f$ sur $\ℝ$. Pourquoi?

Solution...

Corrigé

Méthode 1: La position d'une courbe par rapport à ses tangentes est liée à sa convexité. Etudions donc la convexité de $f$.
On a: $f\,'(x)={1}/{4}×4x^3-3x^2+2×2x+5=x^3-3x^2+4x+5$.
$f"(x)=3x^2-3×2x+4=3x^2-6x+4$.
$3x^2-6x+4$ est un trinôme avec $a=3$, $b=-6$ et $c=4$.
$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4×3×4=-12$.
$Δ$<$0$. Le trinôme reste du signe de $a$, c'est à dire positif.
Finalement, $f"$ est strictement positive, et par là, $f$ est convexe.
Et comme $f$ est convexe sur $\ℝ$, sa courbe $\C_f$ y est au dessus de ses tangentes.
C'est vrai en particulier pour la tangente $d$, qui sera donc en dessous de $\C_f$ sur $\ℝ$.

Méthode 2: Utilisons l'équation de $d$.
$f\,'(x)={1}/{4}×4x^3-3x^2+2×2x+5=x^3-3x^2+4x+5$.
Donc $f\,'(0)=5$.
Or $f(0)=7$.
Donc $d$ a pour équation: $y=f(0)+f'(0)(x-0)$, soit: $y=7+5(x-0)$, soit: $y=5x+7$.

Etudions alors le signe de la différence: $g(x)=f(x)-(5x+7)$.
Pour montrer que $d$ est en dessous de $\C_f$ sur $\ℝ$, il suffit de montrer que $g(x)≥0$ pour tout $x$.
On a: $g(x)={1}/{4}x^4+x^3+2x^2+5x+7-5x-7={1}/{4}x^4+x^3+2x^2$
Pour étudier le signe de ce polynôme, il suffit de le factoriser.
On obtient: $g(x)=x^2({1}/{4}x^2+x+2)$
Le carré $x^2$ est nul en 0 et strictement positif ailleurs.
Le trinôme ${1}/{4}x^2+x+2$ a pour discriminant $Δ=1^2-4×{1}/{4}×2=-1$.
$Δ$<$0$. Le trinôme reste du signe de son coefficient dominant ${1}/{4}$, c'est à dire positif.
Finalement, le produit $g(x)$ est nul en 0 et strictement positif ailleurs.
Par conséquent, $d$ est bien en dessous de $\C_f$ sur $\ℝ$.

Chacun aura remarqué que la première méthode est nettement plus "rapide"!

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