Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Lois à densité

Exercice 1

Soit $b$ un réel strictement supérieur à 1 et $f$ la fonction définie par $f(x)={1}/{x}$ sur $[1;b]$.

  1. Il est clair que $f$ est positive. Montrer que $f$ est continue.
  2. Déterminer $b$ pour $f$ soit une densité.

Solution...
Corrigé
  1. La fonction inverse ${1}/{x}$ est dérivable sur $]0;+∞[$, et par là, $f$ est dérivable sur $[1;b]$, et donc $f$ y est continue.
  2. Par conséquent, $f$ étant positive et continue, l'aire située entre $C_f$ et l'axe des abscisses vaut: $$A=∫_1^{b} f(x)dx$$
    Or: $$∫_1^{b} f(x)dx=∫_1^{b} {1}/{x}dx=[\ln x]_1^{b}=\ln b-\ln 1=\ln b-0=\ln b$$
    Donc: $$A=\ln b$$
    Donc, d'après le 1., $f$ est une densité si et seulement si $A=1$.
    On résout donc: $\ln b=1⇔b=e$.
    Finalement, $f$ est une densité si et seulement si $b=e$.
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