Lois à densité
A SAVOIR: le cours sur la densité
Exercice 2
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Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=0,003x^2$ sur $[0;10]$.
Montrer que $f$ est une densité. -
Soit $g$ la fonction définie par $g(x)={a}/{x^2}$ sur $[1;+∞[$.
Déterminer la valeur de $a$ pour que $g$ soit une densité. - Chaque jour, Jean prend le bus pour se rendre au lycée.
Il a constaté que son temps d'attente X (en minutes) suit une loi de densité $f$.
Aujourd'hui, Jean arrive à l'arrêt de bus.
a. Quelle est la probabilité qu'il attende moins de 7 minutes.
b. Quelle est la probabilité que son temps d'attente soit compris entre 7 et 9 minutes.
c. Déterminez l'espérance de X.
Interprétez concrètement le nombre trouvé. - Un appareil fonctionne au moins une heure sans panne. Sa durée (en heures) de fonctionnement sans panne est donné par la variable aléatoire Y de densité $g$.
Quelle est la probabilité pour que l'appareil fonctionne au moins 10 heures?
Corrigé
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La fonction $f$, polynôme, est continue.
De plus, la fonction $f$ est positive (c'est le produit d'un nombre positif par un carré).
Par conséquent, $f$ étant positive et continue, l'aire située entre $C_f$ et l'axe des abscisses vaut: $$A=∫_0^{10} f(x)dx$$
Or: $$∫_0^{10} f(x)dx=∫_0^{10} 0,003x^2dx=[0,003{x^3}/{3}]_0^{10}=0,003{10^3}/{3}-0,003{0^3}/{3}=1$$
Donc: $$A=1$$
Finalement, les trois conditions suffisantes sont vérifiées, et par là, $f$ est bien une densité. -
La fonction $g$, quotient de fonctions continues, est continue.
De plus, comme $x^2\text">"0$ (pour $x$ non nul, ce qui est le cas), la fonction $g$ est positive si et seulement si $a$ l'est.
On a donc $a\text">"0$.
Par ailleurs, $g$ étant désormais positive et continue, l'aire située entre $C_g$ et l'axe des abscisses vaut: $$A=\lim↙{x→+∞}∫_1^{x} g(t)dt$$
Il est nécessaire et suffisant que cette aire vaille 1.
Or: $$∫_1^{x} g(t)dt=∫_1^{x} {a}/{t^2}dt=[-{a}/{t}]_1^{x}=-{a}/{x}-(-{a}/{1})=a-{a}/{x}$$
Comme $A=\lim↙{x→+∞} a-{a}/{x}=a-0=a$, on obtient: $a=1$. Dès lors, les trois conditions sont vérifiées pour que $g$ soit une densité. -
a. La probabilité cherché est: $$p(0≤X≤7)=∫_0^7 f(x)dx$$.
Soit: $$p(0≤X≤7)=∫_0^{7} 0,003x^2dx=[0,003{x^3}/{3}]_0^{7}=0,003{7^3}/{3}-0,003{0^3}/{3}=0,343$$.
b. La probabilité cherché est: $$p(7≤X≤9)=∫_7^9 f(x)dx$$.
Soit: $$p(7≤X≤9)=∫_7^{9} 0,003x^2dx=[0,003{x^3}/{3}]_7^{9}=0,003{9^3}/{3}-0,003{7^3}/{3}=0,386$$.
La densité $f$ est représentée ci-dessous.
Les aires des parties hachurées (en unités d'aires) correspondent aux probabilités cherchées.
c.$$E(X)=∫_0^{10} x.f(x)dx=∫_0^{10} x.0,003x^2dx=∫_0^{10} 0,003x^3dx=[0,003{x^4}/{4}]_0^{10}$$.
Soit: $$E(X)=0,003{10^4}/{4}-0,003{0^4}/{4}=7,5$$.
Sur un très grand nombre de jours, le temps d'attente moyen de Jean tend certainement vers 7 minutes et 30 secondes. - On cherche: $$p(10≤X)=1-p(1≤X<10)=∫_1^{10} {1}/{x^2}dx=[-{1}/{x}]_1^{10}=-{1}/{10}-(-{1}/{1})=0,9$$.
La probabilité pour que l'appareil fonctionne au moins 10 heures vaut 0,90.