Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Lois à densité

Exercice 3

1. De quel type est la loi X associée à la densité $f$ représentée ci-contre?
On déterminera la valeur de $y_0$.

fig2

2. Déterminer $p(1≤X≤1,5)$.
3. Quelle est l'espérance $m$ de X?
4. Y est la loi normale centrée réduite de densité $g$.
Z est la loi normale d'espérance 1,5, d'écart-type 0,6 et de densité $h$.
Les densités $g$ et $h$ sont représentées ci-dessous.
Associer à chaque densité sa représentation graphique parmi $\C_1$, $\C_2$, $\C_3$ et $\C_4$.
fig3

Solution...
Corrigé
  1. $f$ est constante sur un intervalle et nulle ailleurs.
    Donc X suit une loi uniforme.
    L'intervalle étant [0,8;1,7], la densité $f$ est telle que $f(x)={1}/{1,7-0,8}={1}/{0,9}≈1,111$.
    C'est d'ailleurs la valeur de $y_0$.

  2. $$p(1≤X≤1,5)=∫_{1}^{1,5} f(x)dx=∫_{1}^{1,5} {1}/{0,9}dx={1}/{0,9}∫_{1}^{1,5} 1dx={1}/{0,9}[x]_{1}^{1,5}={1}/{0,9}(1,5-1)$$
    Soit: $p(1≤X≤1,5)={0,5}/{0,9}≈0,556$

  3. $m={1,7+0,8}/{2}=1,25$.
  4. Comme Y est la loi normale centrée réduite de densité $g$, la courbe représentative de $g$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (dans un repère orthogonal), et $g(0)≈0,4$.
    Donc, par élimination, $g$ est représentée par $\C_2$.

    Comme Z est la loi normale d'espérance 1,5, d'écart-type 0,6 et de densité $h$, la courbe représentative de $h$ est symétrique par rapport à à la droite d'équation $x=1,5$ (dans un repère orthogonal).
    Donc, par élimination, $h$ est représentée soit par $\C_3$, soit par $\C_4$.
    Or, on sait que $p(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0,95$.
    Soit, ici: $p(0,3≤Z≤2,7)≈0,95$.
    De plus, l'aire totale sous la courbe représentant Z vaut 1.
    Par conséquent, $\C_4$ ne convient pas.
    Par élimination, $h$ est représentée par $\C_3$.
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