Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Dérivation

Exercice 2

Dériver

  • $f(x)=-{5}/{√{x}}-{3x}/{4}+1$,
  • $g(x)=√{x}+{1}/{x^2+1}$
  • $h(x)=(2x+7)√{x}$
  • $k(x)={9x-3}/{x^2+x}$
  • $m(x)=x\ln x+5e^{-x+7}$

Solution...
Corrigé

Dérivons $f(x)$
Les quotients que contient $f$ possèdent un numérateur ou un dénominateur égal à une constante. Il est donc astucieux de les transformer en produits avant de dériver!
On a: $f(x)=-5{1}/{√{x}}-{3}/{4}x+1$.
On pose $k=-5$, $v=√{x}$.
Donc $v'={1}/{2√{x}}$.
Ici $f=k{1}/{v}-{3}/{4}x+1$ et donc $f\,'=k{-v'}/{v^2}-{3}/{4}$.
Donc $f\,'(x)=-5{-{1}/{2√{x}}}/{x}-{3}/{4}={5}/{2x√{x}}-{3}/{4}$.

Dérivons $g(x)$
On pose $v=x^2+1$. Donc $v'=2x$.
Ici $g=√{x}+{1}/{v}$ et donc $g'={1}/{2√{x}}+{-v'}/{v^2}$.
Donc $g'(x)={1}/{2√{x}}+{-2x}/{(x^2+1)^2}={1}/{2√{x}}-{2x}/{(x^2+1)^2}$.

Dérivons $h(x)$
On pose $u=2x+7$ et $v=√{x}$.
Donc $u'=2$ et $v'={1}/{2√{x}}$.
Ici $h=uv$ et donc $h'=u'v+uv'$.
Donc $h'(x)=2√{x}+(2x+7){1}/{2√{x}}=2√{x}+(2x+7)/{2√{x}}$.

Dérivons $k(x)$
On pose $u=9x-3$ et $v=x^2+x$.
Donc $u'=9$ et $v'=2x+1$.
Ici $k={u}/{v}$ et donc $k'={u'v-uv'}/{v^2}$.
Donc $k'(x)={9(x^2+x)-(9x-3)(2x+1)}/{(x^2+x)^2}={9x^2+9x-18x^2-9x+6x+3}/{(x^2+x)^2}={-9x^2+6x+3}/{(x^2+x)^2}$.

Dérivons $m(x)$
On pose $u=x$ et $v=\ln x$. Donc $u'=1$ et $v'={1}/{x}$.
On pose $w=-x+7$. Donc $w'=-1$.
Ici $m=uv+5e^w$ et donc $m'=u'v+uv'+5w'e^w$.
Donc $m'(x)=1\ln x+x{1}/{x}+5×(-1)×e^{-x+7}=\ln x+1-5e^{-x+7}$.

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