Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Fonctions exponentielles

Exercice 1

  1. Quel est le sens de variation de la fonction $1,04^x$ sur $\R$.
  2. Montrer que l'équation $1,04^x=1,5$ admet une unique solution $a$ sur l'intervalle $[0;12]$
  3. Déterminer un encadrement de $a$ d'amplitude 0,001 par essais successifs.
  4. M. Bourricot place 1000 euros à la banque au taux annuel de $4%$ (à intérêts composés).
    On considère qu'une année comporte 365 jours.
    Au bout de combien d'années (en années et jours) le capital aura-t-il augmenté de moitié?
Solution...

Corrigé
  1. Comme $1\text"<"1,04$, la fonction $1,04^x$ est strictement croissante sur $\R$.
  2. La fonction $1,04^x$ est continue et strictement croissante sur $\R$, et donc sur $\[0;12\]$.
    Or 1,5 est un nombre compris entre $1,04^0=1$ et $1,04^{12}≈1,60$.
    Donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $1,04^x=1,5$ admet une unique solution $a$ sur $\[0;12\]$.
  3. Par essais successifs, on obtient: $1,04^{10,338}≈1,499998$ et $1,04^{10,339}≈1,500057$.
    Donc $a$ est compris entre 10,338 et 10,339.
  4. Au bout de $x$ années, le capital disponible s'élève à $1000×1,04^x$.
    On cherche donc à résoudre l'inéquation $1000×1,04^x\text">"1000×1,5$, soit: $1,04^x\text">"1,5$.
    Donc, d'après les questions précédentes, $x\text">"a$.
    On note alors que $0,338×365≈123,4$ et $0,339×365=123,7$.
    Au bout de 10 années et 123 jours, le capital n'aura pas encore augmenté de moitié.
    Mais ce sera le cas au bout de 10 années et 124 jours.
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