Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Fonctions exponentielles

Exercice 4

  1. Résoudre l'équation $e^{-2x+1}-e^4=0$.
  2. Résoudre l'équation $x^2-x=0$, puis l'équation $e^{2x}-e^x=0$.
  3. Résoudre l'inéquation $e^{-x+1}-1≤0$.

Solution...

Corrigé
  1. $\D_E=\R$.
    $e^{-2x+1}-e^4=0⇔e^{-2x+1}=e^4⇔-2x+1=4⇔-2x=4-1⇔x={3}/{-2}=-1,5$.
    Donc $\S=\{-1,5\}$.

  2. Equation $x^2-x=0$
    $\D_E=\R$.
    Le membre de gauche est un trinôme avec $c=0$. Il est donc judicieux de le factoriser!
    $x^2-x=0⇔x(x-1)=0⇔x=0$ ou $x-1=0⇔x=0$ ou $x=1$.
    Donc $\S=\{0;1\}$.

    Equation $e^{2x}-e^x=0$.
    Cette équation s'écrit: $(e^x)^2-e^x=0$. Donc, en posant $e^x=X$, cette équation devient: $X^2-X=0$.
    Or on vient de voir que cela équivaut à $X=0$ ou $X=1$.
    Par conséquent: $e^{2x}-e^x=0⇔e^x=0$ ou $e^x=1$.
    La première inégalité est impossible car une exponentielle est strictement positive.
    Donc: $e^{2x}-e^x=0⇔e^x=1$.
    Soit: $e^{2x}-e^x=0⇔e^x=e^0⇔x=0$.
    Donc $\S=\{0\}$.
    Une autre méthode, plus rapide, est ici possible.
    $e^{2x}-e^x=0⇔e^{2x}=e^x⇔2x=x⇔2x-x=0⇔x=0$.
    Donc: $\S=\{0\}$.

  3. $\D_E=\R$.
    $e^{-x+1}-1≤0⇔e^{-x+1}≤1⇔e^{-x+1}≤e^0⇔-x+1≤0$
    Soit: $e^{-x+1}-1≤0⇔-x≤-1⇔x≥1$.
    Donc $\S=[1;+∞[$.
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