Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Fluctuation et estimation

Exercice 1

Cette année, un village isolé situé près d'une usine chimique a vu naître 67 enfants, parmi lesquels 43 garçons.

  1. Quel est le pourcentage de garçons nés cette année (à $0,001$ près)?
  2. Intrigué par ce pourcentage, le maire se demande si, pour son village, la probabilité $p$ qu'un nouveau né soit un garçon vaut 0,5.
    Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence de garçons.
  3. Que peut conclure le maire?
Solution...
Corrigé
  1. Avec les notations usuelles, on pose: $n=67$, $p=0,5$ et $f={43}/{67}≈0,642$.
    Le pourcentage de garçons nés cette année est d'environ $64,2%$.
  2. On a: $n≥30$.
    De plus: $np=33,5$ et $n(1-p)=33,5$; et par là: $np≥5$ et $n(1-p)≥5$.
    $p-1,96{√{p(1-p)}}/{√{n}}=0,5-1,96{√{0,5×0,5}}/{√{67}}≈0,380$ (par défaut).
    $p+1,96{√{p(1-p)}}/{√{n}}=0,5+1,96{√{0,5×0,5}}/{√{67}}≈0,620$ (par excès).
    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de $F$ vaut environ $[0,380;0,620]$ (en fait, il est légèrement plus petit).
    Or $f$ n'est pas dedans.
    Par conséquent, l'hypothèse est rejetée.
    Le maire peut affirmer que la probabilité $p$ ne vaut pas $0,5$ (mais le risque qu'il se trompe est d'environ $5\%$).
    On notera que, comme $f$ est au dessus de l'intervalle de fluctuation, la véritable valeur de $p$ est sans doute supérieure à 0,5. Il est possible que la proximité de l'usine chimique perturbe l'équiprobabilité des naissances "garçon-fille".

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