Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Fluctuation et estimation

Exercice 3

La police scientifique a prélevé un échantillon de terre sous les semelles d'un suspect. Cet échantillon de 50 grammes contient 10 grammes de calcaire. On suppose que le suspect a marché dans un lieu terreux dont le taux de calcaire moyen est $p_1$.
Les enquêteurs se demandent si le suspect s'est rendu dans le jardin de la villa V dont le taux de calcaire moyen est $p_2$. Ils y prélèvent un second échantillon de terre de 250 grammes qui contient 102 grammes de calcaire.

  1. Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, du taux de calcaire de chacun des échantillons.
  2. Conclure.

Solution...
Corrigé
  1. Premier échantillon
    Avec les notations usuelles, on pose: $n=50$, $f={10}/{50}=0,20$.
    On a: $n≥30$.
    De plus: $nf=10$ et $n(1-f)=40$; et par là: $nf≥5$ et $n(1-f)≥5$.
    $f-{1}/{√{n}}=0,20-{1}/{√{50}}≈0,058$ (par défaut).
    $f+{1}/{√{n}}=0,20+{1}/{√{50}}≈0,342$ (par excès).
    L'intervalle de confiance pour le taux de calcaire $p_1$ au niveau de confiance de $95\%$ vaut environ $[0,058;0,342]$ (en fait, il est légèrement plus petit).
    Second échantillon
    Avec les notations usuelles, on pose: $n=250$, $f={102}/{250}=0,408$.
    On a: $n≥30$.
    De plus: $nf=102$ et $n(1-f)=148$; et par là: $nf≥5$ et $n(1-f)≥5$.
    $f-{1}/{√{n}}=0,408-{1}/{√{250}}≈0,344$ (par défaut).
    $f+{1}/{√{n}}=0,408+{1}/{√{250}}≈0,472$ (par excès).
    L'intervalle de confiance pour le taux de calcaire $p_2$ au niveau de confiance de $95\%$ vaut environ $[0,344;0,472]$ (en fait, il est légèrement plus petit).
  2. Les deux intervalles sont disjoints, on peut donc conclure à une différence entre les taux de calcaire $p_1$ et $p_2$ au niveau de confiance 0,95. Le suspect n'est sans doute pas allé dans le jardin de la villa V.
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