Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Fonction logarithme népérien

Exercice 2

Soit $h$ définie sur $]0;+∞[$ par $h(x)=x\ln x+3x$.
Le point A(2e;9e) est-il sur la tangente $t$ à $\C_h$ en e?

Solution...

Corrigé

Dérivons $h(x)$
On pose $u=x$ et $v=\ln x$.
Donc $u'=1$ et $v'={1}/{x}$.
Ici $h=uv+3x$ et donc $h'=u'v+uv'+3$.
Donc $h'(x)=1×\ln x+x×{1}/{x}+3=\ln x+1+3=\ln x+4$.

$h(e)=e\ln e+3e=e×1+3e=e+3e=4e$.
$h'(e)=\ln e+4=1+4=5$.
La tangente à $\C_h$ en $x_0$ a pour équation $y=h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)$.
ici: $x_0=e$, $h(x_0)=4e$, $h'(x_0)=5$.
D'où l'équation: $y=4e+5(x-e)$, soit: $y=4e+5x-5e$, soit: $y=5x-e$.
Donc finalement, $t$ a pour équation: $y=5x-e$.

Or $5x_A-e=5×2e-e=10e-e=9e=y_A$. Donc A est sur $t$.

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