Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Fonction logarithme népérien

Exercice 5

Soit $f$ définie sur $[{1}/{e};e]$ par $f(x)=x^2+x-3\ln x$.
Déterminer $f\,'(x)$, étudier son signe, et dresser le tableau de variation de $f$ sur $[{1}/{e};e]$.

Solution...

Corrigé

Dérivons $f(x)$
Donc $f\,'(x)=2x+1-3{1}/{x}={2x^2}/{x}+{x}/{x}-{3}/{x}={2x^2+x-3}/{x}$.

Le numérateur est un trinôme avec $a=2$, $b=1$ et $c=-3$. $Δ=b^2-4ac=1^2-4×2×(-3)=1+24=25$.
$Δ\text">"0$. Le trinôme a 2 racines.
$x_1={-b-√Δ}/{2a}={-1-5}/{4}=-1,5$ (hors intervalle)    et $x_2={-b+√Δ}/{2a}={-1+5}/{4}=1$.
Le trinôme est du signe de $a$ (positif) à l'extérieur des racines.

Le dénominateur est strictement positif sur $\R+$, et donc sur $[{1}/{e};e]$.

D'où le tableau de signes de $f\,'$ et de variation de $f$.
fig1
On note que: $f(1)=1^2+1-3\ln1=1+1-3×0=2$
$f({1}/{e})=({1}/{e})^2+{1}/{e}-3\ln{1}/{e}={1}/{e^2}+{1}/{e}-3(\ln1-\ln e)={1}/{e^2}+{1}/{e}-3(0-1)={1}/{e^2}+{1}/{e}+3≈3,5$

$f(e)=e^2+e-3\ln e=e^2+e-3×1=e^2+e-3≈7,1$
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