Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Oral second groupe

L'épreuve consiste en une interrogation du candidat, visant à apprécier sa maîtrise des connaissances de base. Montrez donc que vous savez votre cours.
Temps de préparation: 20 minutes.
Durée de l'interrogation: 20 minutes.

SUJET 2


Exercice 1

Jean arrive chaque jour au lycée à 7h40, et il attend son ami Pierre.
Ce dernier arrive chaque jour au lycée à une heure aléatoire comprise entre 7h40 et 8h10.
Soit X le temps d'attente de Jean, en minutes

  1. Donner la loi de probabilité de X.
  2. Quelle est son espérance? Que représente-t-elle?
  3. facultatif: Les cours commencent à 8 heures. Quelle est la probabilité que Pierre soit en retard?

Exercice 2

Gontran place $10\,000$ euros à intérêts composés au taux annuel de 1,75%.
Soit $u_n$ son capital (en euros) au bout de $n$ années. Ainsi, $u_0=10\,000$.
1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout naturel $n$.
2. Qu'en déduire concernant la suite $(u_n)$?
3. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
4. Donner le sens de variation de $(u_n)$ ainsi que sa limite.
5. facultatif: Gontran prétend que l'algorithme suivant permet de déterminer la plus petite valeur $n_0$ telle que $u_{n_0}>15\,000$.

Affecter à N la valeur 0
Affecter à U la valeur $10\,000$
Tant que U$≤15\,000$
   Affecter à U la valeur U$× 1,0175^N$
Fin du Tant que
Afficher N

Modifier l'algorithme pour qu'il fonctionne correctement..


Solution...
Corrigé

Exercice 1

  1. X suit une loi uniforme sur [0;30], de densité $f(x)={1}/{30-0}={1}/{30}$.

  2. L'espérance est $$E(X)={0+30}/{2}=15$$.
    Sur un très grand nombre de jours, le temps d'attente moyen de Jean tend sans doute vers 15 minutes.

  3. La probabilité cherché est: $$p(20\text"<"X≤30)=∫_{20}^{30} f(x)dx$$.
    Soit: $$p(20\text"<"X≤30)=∫_{20}^{30} {1}/{30}dx=[{1}/{30}x]_{20}^{30}={1}/{30}×30-{1}/{30}×20={1}/{30}×(30-20)={10}/{30}={1}/{3}$$.

Exercice 2

1.a. Pour tout naturel $n$: $u_{n+1}=u_n+{1,75}/{100}×u_n=(1+{1,75}/{100})×u_n=1,0175×u_n$.

1.b. Par conséquent, la suite $(u_n)$ est géométrique de raison 1,0175 de premier terme $u_0=10\,000$.

1.c. Et par là, pour tout naturel $n$: $u_n=10\,000× 1,0175^n$.

1.d. Comme $1$<$1,0175$, alors $(1,0175^n)$ est strictement croissante.
Et comme $10\,000$>$0$, $(u_n)$ est également strictement croissante.
Par ailleurs:
Comme 1,0175>1, on a: $\lim↙{n→+∞}(1,0175^n)=+∞$.
Or $10\,000$>$0$. Donc $\lim↙{n→+∞}(u_n)=+∞$.

2.a. Nous proposons deux algorithmes possibles.

Le premier utilise
la formule de récurrence.

Affecter à N la valeur 0
Affecter à U la valeur $10\,000$
Tant que U$≤15\,000$
   Affecter à U la valeur U$× 1,0175$
   Augmenter N de 1
Fin du Tant que
Afficher N

Le second utilise
la formule explicite.

Affecter à N la valeur 0
Tant que $10\,000× 1,0175^N≤15\,000$
   Augmenter N de 1
Fin du Tant que
Afficher N

Réduire...