Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Oral second groupe

L'épreuve consiste en une interrogation du candidat, visant à apprécier sa maîtrise des connaissances de base. Montrez donc que vous savez votre cours.
Temps de préparation: 20 minutes.
Durée de l'interrogation: 20 minutes.

SUJET 3


Exercice 1

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance d'espérance $μ=2$ et d'écart-type $σ=0,5$.

  1. Déterminer une valeur approchée à 0,01 près de $p(1≤X≤3)$.
  2. Déterminer une valeur approchée à 0,01 près de $p(1≤X)$.
  3. Déterminer une valeur approchée de $p_{1≤X}(X≤3)$.

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1;3]$ par $f(x)=2x^2+x+0,5$.

  1. Montrer que $f$ est continue et positive sur $[1;3]$.
  2. Déterminer la valeur moyenne $m$ de $f$ sur $[1;3]$.
  3. facultatif: Interprétez graphiquement.
Solution...
Corrigé

Exercice 1

  1. $p(1≤X≤3)=p(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0,95$.
    Pour ceux qui ne connaissent pas leur cours, $p(1≤X≤3)$ s'obtient facilement à la calculatrice, qui donne un résultat plus précis: $p(1≤X≤3)≈0,9545≈0,95$.

  2. $p(1≤X)=p(μ-2σ≤X)=1-p(X\text"<"μ-2σ)$.
    Or, par symétrie de la fonction de densité par rapport à la droite d'équation $x=μ$, on obtient:
    $p(X$<$μ-2σ)=p(μ+2σ$<$X)={1-p(μ-2σ≤X≤μ+2σ)}/{2}≈0,025$.
    Donc: $p(1≤X)≈1-0,025≈0,975≈0,98$.
    Pour ceux qui ne connaissent pas leur cours, $p(1≤X)$ s'obtient facilement à la calculatrice, qui donne un résultat plus précis: $p(1≤X)≈0,9772≈0,98$.

  3. $p_{1≤X}(X≤3)={p((1≤X) ∩ (X≤3))}/{p(1≤X)}={p(1≤X≤3)}/{p(1≤X)}≈{0,95}/{0,98}≈0,97$.
    Avec davantage de précision, on obtient: $p_{1≤X}(X≤3)={p(1≤X≤3)}/{p(1≤X)}≈{0,9545}/{0,9772}≈0,98$.

Exercice 2

1. $f$ est continue car elle est dérivable (comme fonction usuelle).
$f$ est un trinôme, avec $a=2$, $b=1$ et $c=0,5$. Et $Δ=b^2-4ac=(1)^2-4×2×0,5=-3$.
Le discriminant est strictement négatif, et par là, $f$ reste du signe de $a$, c'est à dire positif.

2. $$m={1}/{3-1}∫_1^3 f(t)dt=0,5[2{x^3}/{3}+{x^2}/{2}+0,5x]_1^3$$
Soit: $m=0,5[(18+4,5+1,5)-({2}/{3}+0,5+0,5)]=0,5[24-{2}/{3}-1]=0,5[23-{2}/{3}]={67}/{6}≈11,2$.

3. $f$ étant continue et positive, l'aire du domaine situé sous la courbe représentative de $f$ pour $x$ entre 1 et 3 est la même que celle d'un rectangle de côtés $3-1=2$ et $m≈11,2$.

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