Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Oral second groupe

L'épreuve consiste en une interrogation du candidat, visant à apprécier sa maîtrise des connaissances de base. Montrez donc que vous savez votre cours.
Temps de préparation: 20 minutes.
Durée de l'interrogation: 20 minutes.

SUJET 4


Exercice 1

La probabilité sera arrondie à 0,01 près.
L'entreprise Duflan produit des appareils dont la durée de vie X suit une loi densité $f$ définie sur $[0;+∞[$ par: $f(x)={1}/{15}e^{-{1}/{15}x}$.
Calculer la probabilité qu'un appareil vive moins de 2 ans.


Exercice 2

Soit $f$ définie sur $[0;2]$ par $f(x)=x^3-2x^2+x$.

  • Etudier la convexité de la fonction $f$ .
  • Déterminer le point d'inflexion A de $\C_f$.

Solution...
Corrigé

Exercice 1

La probabilité $p$ cherchée est: $$p=p(0≤X≤2)=∫_0^2 f(x)dx$$.
Soit: $$p=∫_0^{2} {1}/{15}e^{-{1}/{15}x}dx=∫_0^{2}-({-1}/{15}e^{-{1}/{15}x})dx$$
Or, une primitive de $u'e^u$ est $e^u$.
Donc: $$p=[-e^{-{1}/{15}x}]_0^2$$.
Soit: $$p=-e^{-{1}/{15}×2}-(-e^{-{1}/{15}×0})=-e^{-{2}/{15}}+e^{0}=1-e^{-{2}/{15}}≈0,12$$.

Exercice 2

  • $f\,'(x)=3x^2-2×2x+1=3x^2-4x+1$.
    $f"(x)=3×2x-4=6x-4$.
    $f"$ est une fonction affine, à coefficient directeur strictement positf, et qui s'annule pour $x={4}/{6}={2}/{3}$.
    Donc $f"$ est strictement négative sur $[0;{2}/{3}[$, et par là, $f$ y est concave.
    Et $f"$ est strictement positive sur $]{2}/{3}; 2]$, et par là, $f$ y est convexe.
  • Enfin, on note que $f"$ s'annule en changeant de signe en ${2}/{3}$.
    Et par là, $\C_f$ admet un point d'inflexion A en ${2}/{3}$.
    Comme $f({2}/{3})=({2}/{3})^3-2({2}/{3})^2+{2}/{3}={8}/{27}-{8}/{9}+{2}/{3}={2}/{27}$, le point d'inflexion A a pour coordonnées $({2}/{3};{2}/{27})$.
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