Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Oral second groupe

L'épreuve consiste en une interrogation du candidat, visant à apprécier sa maîtrise des connaissances de base. Montrez donc que vous savez votre cours.
Temps de préparation: 20 minutes.
Durée de l'interrogation: 20 minutes.

SUJET 5


Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite telle que $u_0=10$ et, telle que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,6u_n+5$.

Soit $v_n$ la suite définie par $v_n=u_n-12,5$ (pour tout naturel $n$).
1. Que dire de $(u_n)$?
2. Montrer que $(v_n)$ est géométrique.
3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout naturel $n$.
4. Déterminer $\lim↙{n→+∞}(u_n)$.


Exercice 2

Soit $f$ définie sur $]0;2]$ par $f(x)=x\ln x-2x$.

  • Montrer que $f\,'(x)=\ln x -1$ .
  • Déterminer le sens de variation de $f$.
Solution...
Corrigé

Exercice 1

1. $(u_n)$ est arihmético-géométrique de paramètres $0,6$ et $12,5$.

2. Soit $n$ un entier naturel; $v_{n+1}=u_{n+1}-12,5=0,6×u_n+5-12,5=0,6×u_n-7,5$.
Or: $0,6×v_n=0,6×(u_n-12,5)=0,6×u_n-0,6×12,5=0,6×u_n-7,5$.
Donc: $v_{n+1}=0,6×v_n$, et ceci est vrai pour tout entier naturel $n$.
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0,6$.
Notons que son premier terme est $v_0=u_0-12,5=10-12,5=-2,5$.

3. On obtient alors: $v_n=v_0×0,6^n=-2,5×0,6^n$.
Par ailleurs, $v_n=u_n-12,5$ donne $v_n+12,5=u_n$.
Finalement, on obtient: $-2,5×0,6^n+12,5=u_n$.

4. Comme $0$<$0,6$<$1$, on a: $\lim↙{n→+∞}(0,6^n)=0$.
Donc $\lim↙{n→+∞}(u_n)=12,5$.

Exercice 2

  • On pose $f=uv-2x$ avec $u=x$ et $v=\ln x$.
    Donc $f\,'=u'v+uv'-2$ avec $u'=1$ et $v'={1}/{x}$.
    Donc $f\,'(x)=1×\ln x+x×{1}/{x}-2=\ln x+1-2=\ln x-1$.
  • On cherche le signe de $f\,'$.
    $f\,'(x)\text">"0 ⇔ \ln x-1 \text">"0 ⇔ \ln x \text">"1 ⇔e^{ln x}\text">"e^1 ⇔x \text">" e^1 ⇔ x\text">" e$.
    Donc $f\,'$ est strictement positive pour $x$ strictement supérieur à $e$ (rappel: $e≈2,72$).
    Il est alors évident que $f\,'$ est strictement négative pour $x$ strictement inférieur à $e$, et en particulier sur $]0;2]$.
    Et par là, $f$ est strictement décroissante sur $]0;2]$.
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