Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Primitives

Exercice 1

Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur $]0;+∞[ $.

  • $$f(x)=5x^3-2x^2+4x+9+17/x+29/{x^2}+e^x$$
  • $$g(x)=(2x+1)e^{x^2+x+8}$$
  • $$h(x)=7e^{7x-4}+1/x$$

Solution...
Corrigé

  • Réécrivons tout d'abord $f(x)$ pour faire apparaître des fonctions dont on connait les primitives.
    $$f(x)=5x^3-2x^2+4x+9+17{1}/x+29{1}/{x^2}+e^x$$

    $f$ admet alors pour primitives:
    $$F(x)=5{x^4}/4-2{x^3}/3+4{x^2}/{2}+9x+17\ln x+29{-1}/{x}+e^x+c$$
    (où $c$ est une constante).
    Soit:
    $$F(x)={5x^4}/4-{2x^3}/3+2x^2+9x+17\ln x-{29}/{x}+e^x+c$$
    (où $c$ est une constante).
  • On a: $g(x)=u'e^u$ avec $u=x^2+x+8$ et $u'=2x+1$.
    Par conséquent, $g$ admet des primitives du type $G=e^u+c$ (où $c$ est une constante).
    Soit: $G(x)=e^{x^2+x+8}+c$ (où $c$ est une constante).
  • On a: $h(x)=u'e^u+1/x$ avec $u=7x-4$ et $u'=7$.
    Par conséquent, $h$ admet des primitives du type $H=e^u+\ln x+c$ (où $c$ est une constante).
    Soit: $H(x)=e^{7x-4}+\ln x+c$ (où $c$ est une constante).

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