Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Probabilités

Exercice 1

Un courtier en assurance propose 3 contrats:

  • Responsabilité civile
  • Véhicule
  • Habitation

Ses 1000 clients ont tous souscrit le contrat Responsabilité civile. Parmi ceux-là, 800 ont souscrit le contrat Véhicule, 700 ont souscrit le contrat Habitation et 650 ont soucrit à la fois le contrat Véhicule et le contrat Habitation.
Le courtier sort le dossier d'un client au hasard.
Soit V: "le client a souscrit le contrat Véhicule".
Soit H: "le client a souscrit le contrat Habitation".
Soit E:" "le client a souscrit uniquement le contrat Responsabilité civile".

  1. Déterminer $p(V)$ et $p(H)$.
  2. Décrire par une phrase chacun des évènements: $V∩H$ et $V∪H$.
  3. Déterminer la probabilité de chacun des évènements $V∩H$ et $V∪H$.
  4. Déterminer $p(E)$.
  5. En lisant la première ligne du contrat, le courtier comprend que le client a souscrit le contrat Véhicule.
    Quelle est la probabilité que le client ait souscrit le contrat Habitation?
Solution...
Corrigé
  1. Les 1000 issues de l'expérience sont décrites par le diagramme ci-contre.
    L'univers est l'intérieur de la grande ellipse.
    V est la zone rose ou violine.
    H est la zone bleue ou violine.
    $V∩H$ est la zone violine.
    E est la zone jaune.

    fig1
  2. $V∩H$: "le client a souscrit le contrat Véhicule et le contrat Habitation".
    $V∪H$: "le client a souscrit le contrat Véhicule ou le contrat Habitation (ou les 2)".

  3. $\text"Card Ω"=1000$. Il y a équiprobabilité.
    $\text"Card V"=800$. Donc: $p(V)={800}/{1000}=0,80$.
    $\text"Card H"=700$. Donc: $p(H)={700}/{1000}=0,70$.
    $\text"Card V∩H"=650$. Donc: $p(V∩H)={650}/{1000}=0,65$.
    $p(V∪H)=p(V)+p(H)-p(V∩H)=0,80+0,70-0,65=0,85$.

  4. E est l'évènement contraire de $V∪H$.
    $p(E)=1-p(V∪H)=1-0,85=0,15$.

  5. En lisant la première ligne du contrat, le courtier comprend que le client a souscrit le contrat Véhicule".
    L'univers se réduit donc aux 800 issues de V, qui sont équiprobables.
    Parmi celles-ci, 650 issues sont favorables.

  6. Donc la probabilité cherchée est ${650}/{800}=0,8125$.

    Autre méthode: la probabilité cherchée est $p_V(H)={p(H∩V)}/{p(V)}={0,65}/{0,80}=0,8125$.

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