Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Suites

Exercice 2

Au mois de janvier 2000, le loyer payé par Isidore s'élève à $300$ euros.
Soit $u_n$ le loyer payé (en euros) au bout de $n$ mois. Ainsi, $u_0=300$.
On suppose que, pour tout naturel $n$, on a: $u_n=300× 1,002^n$.
1.a. Qu'en déduire concernant la suite $(u_n)$?
1.b. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout naturel $n$.
1.c. De combien, en pourcentage, augmente le loyer chaque mois.
1.d. Donner le sens de variation de $(u_n)$ ainsi que sa limite.
2.a. Ecrire l'algorithme d'un programme permettant de déterminer la plus petite valeur $n_0$ telle que $u_{n_0}>400$.
2.b. Programmer un tel programme sur votre calculatrice et donner la valeur de $n_0$ proposée.
3. Combien Isidore a-t-il dépensé en loyers du premier janvier 2000 au 31 décembre 2013?

Solution...

Corrigé

1.a. Pour tout naturel $n$: $u_n=300× 1,002^n$.
On reconnait ici la formule explicite donnant le terme de rang $n$ d'une suite géométrique de raison 1,002 de premier terme $u_0=300$.

1.b. Par conséquent, Pour tout naturel $n$: $u_{n+1}=1,002×u_n$.

1.c. Le coefficient multiplicateur est $1,002=1+{0,2}/{100}$, et par là, le loyer augmente chaque mois de 0,2%.

1.d. Comme $1$<$1,002$, alors $(1,002^n)$ est strictement croissante.
Et comme $300$>$0$, $(u_n)$ est également strictement croissante.
Par ailleurs:
Comme 1,002>1, on a: $\lim↙{n→+∞}(1,002^n)=+∞$.
Or $300$>$0$. Donc $\lim↙{n→+∞}(u_n)=+∞$.

2.a. Nous proposons deux algorithmes possibles.

Le premier utilise
la formule de récurrence.

Affecter à N la valeur 0
Affecter à U la valeur $300$
Tant que U$≤400$
Affecter à U la valeur U$× 1,002$
Augmenter N de 1
Fin du Tant que
Afficher N

Le second utilise
la formule explicite.

Affecter à N la valeur 0
Tant que $300× 1,002^N≤400$
Augmenter N de 1
Fin du Tant que
Afficher N

2.b. Exemples de programmes utilisant la formule de récurrence:

Pour une Casio:
$0→N$
$300→U$
While $U≤400$
$U× 1,002→U$
$N+1→N$
WhileEnd
N

Pour une TI:
$0→N$
$300→U$
While $U≤400$
$U× 1,002→U$
$N+1→N$
End
Disp N


Les deux programmes donnent une valeur de N égale à 144.

3. Le mois de janvier 2000 correspond à $n=0$.
Le mois de décembre 2000 correspond à $n=11$.
Le mois de décembre 2001 correspond à $n=11+1×12=23$.
Le mois de décembre 2013 correspond à $n=11+13×12=167$.
On cherche donc la somme $S=u_0+u_1+u_2+...+u_167$.
Et comme $(u_n)$ est géométrique de raison 1,002 de premier terme $u_0=300$, on a:
$S=u_0× {1-1,002^{167+1}}/{1-1,002}=300× {1-1,002^{168}}/{-0,002}≈59\,830,43$.
Pendant les 14 ans considérés, Isidore a dépensé $59\,830,43$ euros en loyers.

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