Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Suites

Exercice 3

Le nombre de clients potentiels du marché sur lequel sont en concurrence les sociétés LibreBox et Télécom est supposé stable et égal à 70 millions de clients.
Au premier janvier 2000, la société LibreBox possède 7 millions de clients, tandis que la société Télécom en détient 63 millions.
Chaque année, 20% de la clientèle de LibreBox change pour Télécom et de même, 20% de la clientèle de Télécom change pour LibreBox.
Soit $u_n$ le nombre de clients (en millions) de la société LibreBox au premier janvier de l'année $2000+n$. Il est clair que $u_0=7$.
1.a. Montrer que $u_1=18,2$
1.b. Montrer que $u_{n+1}=0,6×u_n+14$ pour tout naturel $n$.
1.c. Qu'en déduire concernant $(u_n)$?
2. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout naturel $n$, par $v_n=u_n-35$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique, et donner sa raison et son premier terme.
3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout naturel $n$.
4. Déterminer $\lim↙{n→+∞}(u_n)$ et conclure.

Solution...

Corrigé

1.a. Il est clair que, chaque année, LibreBox conserve 80% de sa clientèle, et capte 20% de la clientèle de Télécom.
En particulier, pour la première année: $u_1=u_0×0,80+(70-u_0)×0,20$.
Soit: $u_1=7×0,80+(70-7)×0,20$. On a donc: $u_1=7×0,80+63×0,20=18,2$.

1.b. Pour tout naturel $n$: $u_{n+1}=u_n×0,80+(70-u_n)×0,20=0,80u_n+70×0,20-0,20u_n=0,6×u_n+14$.

1.c. Par conséquent, $(u_{n})$ est arithmético-géométrique de paramètres 0,6 et 14.

2. Comme le premier paramètre de $(u_{n})$ est $0,6$, montrons que la suite auxilliaire $(v_n)$ est géométrique de raison 0,6.
Soit $n$ un entier naturel; $v_{n+1}=u_{n+1}-35=0,6×u_n+14-35=0,6×u_n-21$.
Or: $0,6×v_n=0,6×(u_n-35)=0,6×u_n-0,6×35=0,6×u_n-21$.
Donc: $v_{n+1}=0,6×v_n$, et ceci est vrai pour tout entier naturel $n$.
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison 0,6.
Notons que son premier terme est $v_0=u_0-35=7-35=-28$.

3. On obtient alors: $v_n=v_0×0,6^n$. Soit: $v_n==(-28)×0,6^n$.
Par ailleurs, comme $v_n=u_n-35$, on a: $v_n+35=u_n$.
Et, en remplaçant $v_n$ par son expression, on obtient finalement: $-28×0,6^n+35=u_n$.

4. Comme 0<0,6<1, on a: $\lim↙{n→+∞}(0,6^n)=0$.
Donc $\lim↙{n→+∞}(u_n)=35$.
Le nombre de clients de LibreBox tend vers $35$ millions.
Notons que de ce fait, celui de Télécom tend également vers 35 millions.

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