Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Intégrales

Ce cours est désormais abordable sans avoir vu les primitives. Il suffit de passer les définitions et propriétés les concernant, et de se concentrer sur tout ce qui traite de fonctions continues et positives...

Définition

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle I.
Soit F une primitive de $f$ sur I.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels de l'intervalle I.
L'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$, notée $$∫_a^b f(t)dt$$ , est définie par l'égalité: $$∫_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$$ .
On note également: $$∫_a^b f(t)dt=[F(t)]_a^b$$

Exemple

Soit $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=0,5x^2$.
Déterminer $$A=∫_1^3 f(t)dt$$

Solution...
Corrigé

La fonction $f$, dérivable, est donc continue.
Une primitive de $f$ est $F$, définie par $F(x)=0,5{x^3}/{3}$ sur $ℝ$.
Donc $$∫_1^3 f(t)dt=∫_1^3 0,5t^2dt=[F(x)]_1^3=[0,5{x^3}/{3}]_1^3$$
Soit: $$∫_1^3 f(t)dt=0,5{3^3}/{3}-0,5{1^3}/{3}=0,5(27/3-1/3)$$
Soit: $∫_1^3 f(t)dt=0,5 26/3=13/3≈4,333$.

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Propriété

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle I contenant $a$.
Alors la fonction $F$ définie sur I par $$F(x)=∫_a^x f(t)dt$$ est la primitive de $f$ sur I qui s'annule en $a$.

Propriété

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$.
Soit $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal (les axes sont perpendiculaires).
$$∫_a^b f(t)dt$$ est l'aire du domaine D délimité par $C$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

Exemple

Soit $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=0,5x^2$, de courbe représentative $C$ dans un repère orthogonal (unités: 1 cm sur l'axe des abscisses, 0,5 cm sur l'axe des ordonnées)
On admet que $∫_1^3 f(t)dt=13/3≈4,333$.
Déterminer l'aire $A$ du domaine $D=${$M(x;y)$/$1≤x≤3$ et $0≤y≤f(x)$}.

Solution...
Corrigé

La fonction $f$, dérivable, est donc continue.
De plus, il est évident que $f$ est positive sur $[1;3]$.
Donc $$A=∫_1^3 f(t)dt=13/3≈4,333$$.
L'aire du domaine $D$ vaut environ 4,333 unités d'aire.
$D$ est hachuré dans la figure ci-contre.

fig1

Calculons l'aire (en $cm^2$) d'une unité d'aire, c'est à dire celle d'un rectangle de côtés 1 unité (sur l'axe des abscisses) et 1 unité (sur l'axe des ordonnés). Sa surface mesure: 1x0,5=0,5 $cm^2$.
Donc, une unité d'aire représente 0,5 $cm^2$.
Et comme 4,333x0,5=2,166, l'aire cherchée vaut environ 2,166 $cm^2$.

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Définition

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est le nombre réel $$m=1/{b-a}∫_a^b f(t)dt$$ .

Propriété

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$, de valeur moyenne $m$ sur $[a;b]$.
Soit $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.
Le rectangle de côtés $m$ et $b-a$ a même aire que le domaine situé sous la courbe $C$.

Exemple

Soit $f$ la fonction de l'exemple précédent définie sur $ℝ$ par $f(x)=0,5x^2$.
Déterminer $m$, valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[1;3]$.
Interpréter graphiquement.

Solution...
Corrigé

$$m=1/{3-1}∫_1^3 f(t)dt$$ .
Or, on a vu dans l'exemple précédent que: $∫_1^3 f(t)dt≈4,333$.
Donc $$m≈1/{2}4,333≈2,166$$ .
Comme $f$ est positive, le rectangle de hauteur $2,166$ et de largeur $2$
a même aire que le domaine hachuré situé sous la courbe $C$.

fig2
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Linéarité

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle contenant les réels $a$ et $b$, et $k$ un nombre réel.
Alors: $$∫_a^b (f(t)+g(t))dt=∫_a^b f(t)dt+∫_a^b g(t)dt$$ et: $$∫_a^b (kf(t))dt=k∫_a^b f(t)dt$$ .

En particulier, on obtient: $$∫_a^b (f(t)-g(t))dt=∫_a^b f(t)dt-∫_a^b g(t)dt$$ .
Donc, si $a$<$b$, et si $f$ et $g$ sont positives sur $[a;b]$, et si $g≤f$ sur $[a;b]$,
alors on a là une façon pratique de calculer l'aire entre deux courbes.

Exemple

On considère les fonctions $f(x)=\ln x+x^2$ et $g(x)=\ln x +x$ sur l'intervalle $\[1;2\]$.
Montrer qu'elles sont positives sur $\[1;2\]$, et que $g≤f$ sur $\[1;2\]$.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
On admet que $$∫_1^2 (t^2-t)dt=7/6≈1,17$$
Déterminer alors l'aire $A$ entre les deux courbes.

Solution...
Corrigé

$x^2$ est positif pour tout $x$.
$\ln x$ est positif pour tout $x$ supérieur ou égal à 1.
$x$ est positif pour tout $x$ supérieur ou égal à 0.
Donc, sur $\[1;2\]$, $x^2$, $\ln x$ et $x$ sont positifs,
et par là, $f$ et $g$ le sont.
Par ailleurs, $x≤x^2$ pour $x≥1$, et par là, $g≤f$ sur $\[1;2\]$.

fig4

L'aire $A$ est la différence des deux aires sous les courbes:
$$A=∫_1^2 f(t)dt-∫_1^2 g(t)dt=∫_1^2 (f(t)-g(t))dt$$
Soit: $$A==∫_1^2 ((\ln t+t^2)-(\ln t+t)))dt=∫_1^2 (\ln t+t^2-\ln t-t)dt=∫_1^2 (t^2-t)dt$$
Soit: $$A=7/6≈1,17$$
Donc l'aire du domaine situé entre les deux courbes vaut environ 1,17 unités d'aire.

Notons qu'il vous aurait été difficile de calculer l'aire sous chacune des courbes car vous ne connaissez pas les primitives de la fonction $\ln$ (elles sont hors programme...).

Pour les curieux, voici le calcul de $$∫_1^2 (t^2-t)dt$$ à l'aide de primitive.
$$∫_1^2 (t^2-t)dt=[{t^3}/{3}-{t^2}/{2}]_1^2=(2^3/3-2^2/2)-(1^3/3-1^2/2)=8/3-4/2-1/3+1/2={16-12-2+3}/6=7/6≈1,17$$

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Relation de Chasles

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle contenant les réels $a$, $b$ et $c$.
Alors: $$∫_a^b f(t)dt+∫_b^c f(t)dt=∫_a^c f(t)dt$$ .

Si, de plus, $f$ est positive, et si $a$<$b$<$c$, alors cette propriété traduit l'additivité des aires:
l'aire sous la courbe entre $a$ et $c$ est la somme de l'aire sous la courbe entre $a$ et $b$ et de l'aire sous la courbe entre $b$ et $c$.

fig3
Exemple

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2$ sur l'intervalle $\[0;1\]$ et par $f(x)=1/x$ sur l'intervalle $\]1;e\]$.
On admet que $$∫_0^1 f(t)dt=1/3$$ et $$∫_1^e f(t)d=1$$
Nous admettrons que $f$ est continue sur $\[0;e\]$.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal. Soit $D=\{M(x;y)$/$0≤x≤e$ et $0≤y≤f(x)\}$.
Déterminer l'aire $A$ de $D$.

Solution...
Corrigé

Il est évident que $f$ est positive sur $[0;e]$.
Donc: $$A=∫_0^e f(t)dt=∫_0^1 f(t)dt+∫_1^e f(t)dt$$
Soit: $$A=1/3+1=4/3$$
Soit: $A≈1,33$ unités d'aire.

fig5

Pour les curieux, voici le calcul des 2 intégrales à l'aide de primitives.

On a: $$∫_0^1 f(t)dt=∫_0^1 t^2dt=[t^3/3]_0^1=(1^3/3-0^3/3)=1/3-0=1/3$$
et: $$∫_1^e f(t)dt=∫_1^e 1/tdt=[\ln t]_1^e=(\ln e-\ln 1)=1$$

Réduire...

Positivité

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $\[a;b\]$.
Si $f≥0$ sur $\[a;b\]$, alors $$∫_a^b f(t)dt≥0$$ .
Si $f≤0$ sur $\[a;b\]$, alors $$∫_a^b f(t)dt≤0$$ .
Si $f≤g$ sur $\[a;b\]$, alors $$∫_a^b f(t)dt≤∫_a^b g(t)dt$$ .

Si, de plus, $f$ et $g$ sont positives, alors cette propriété traduit le fait que l'aire sous la courbe de $f$ est inférieure à celle située sous la courbe de $g$.

Exemple

Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
On considère la fonction $f$ continue sur l'intervalle $\[1;2\]$ telle que $1/x^2≤f(x)≤1/x$ sur l'intervalle $\[1;2\]$.
On admet que $$∫_a^b 1/t^2dt=0,5$$ et $$∫_a^b 1/t dt=\ln 2$$
Déterminer un encadrement d'amplitude 0,2 de l'aire $A$ du domaine situé sous la courbe de $f$.

Solution...
Corrigé

Comme $1/x^2≤f(x)≤1/x$ sur l'intervalle $\[1;2\]$,
on obtient: $$∫_a^b 1/t^2dt≤∫_a^b f(t)dt≤∫_a^b 1/t dt$$
Soit: $0,5≤A≤\ln 2$.

fig6

Comme $\ln 2≈0,69$, on obtient: $0,5≤A≤0,7$.
C'est un encadrement convenable.


Pour les curieux, voici le calcul des 2 intégrales à l'aide de primitives.

On a: $$∫_a^b 1/t^2dt=[{-1}/{t}]_1^2={-1}/{2}-{-1}/{1}=0,5$$
et: $$∫_a^b 1/t dt=[\ln t]_1^2=(\ln 2-\ln 1)=\ln 2$$

Réduire...