Suites
Définition
Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si et seulement si
pour tout naturel $n$, $u_{n+1}=u_n× q$.
(ici, la suite est donnée par une formule de récurrence)
Exemple
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de raison $q=0,5$ et de premier terme $u_0=10$.
Déterminer les valeurs des trois termes suivants.
Corrigé
On a: $u_1=u_0×q=10×0,5=5$, $u_2=u_1×q=5×0,5=2,5$ et $u_3=u_2×q=2,5×0,5=1,25$.
Exemple
Soit $(u_n)$ une suite telle que, pour tout entier naturel $n$, on a: $3u_n-7u_{n+1}=5u_n$.
Donner la nature de $(u_n)$.
Corrigé
On a: $3u_n-7u_{n+1}=5u_n$ $⇔$ $-7u_{n+1}=5u_n-3u_n$ $⇔$ $u_{n+1}={2u_n}/{-7}$ $⇔$ $u_{n+1}=-{2}/{7}u_n$
Donc, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n+1}=-{2}/{7}u_n$
Donc $(u_n)$ est géométrique de raison $-{2}/{7}$.
Propriété
$(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si et seulement si
pour tout naturel $n$, $u_{n}=u_0× q^n$.
(ici, la suite est donnée par une formule explicite)
Exemple 1
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de raison $q=3$ et de premier terme $u_0=2$.
Déterminer $u_{10}$.
Corrigé
On a: $u_10=u_0×q^{10}=2×3^{10}=118098$.
Exemple 2
Soit $(v_n)$ une suite telle que, pour tout naturel $n$, $v_{n}=5× 4^n$.
Que dire de $(v_n)$?
Corrigé
$(v_n)$ est géométrique de raison 4 et de premier terme $v_0=5$.
Savoir faire
Pour montrer qu'une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$, on essaie en général de prouver la relation de récurrence $u_{n+1}=u_n× q$.
Mais, si cela semble difficile, on essaie alors de prouver la relation explicite $u_{n}=u_0× q^n$.
Quelle que soit la méthode, les relations doivent être vérifiées pour tout naturel $n$.
Il ne faut pas se contenter de faire quelques vérifications avec des valeurs de $n$ particulières!
Propriété
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ non nulle, alors,
pour tous naturels $n$ et $p$, $u_{n}=u_p× q^{n-p}$.
Exemple
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de raison $q=1,20$ et telle que $u_{10}=200$.
Déterminer $u_{15}$.
Corrigé
On a: $u_{15}=u_{10}×q^{15-10}=200×1,20^{5}=497,664$.
Propriété
Si $q$>$1$, alors $(q^n)$ est strictement croissante.
Si $0$<$q$<$1$, alors $(q^n)$ est strictement décroissante.
Si $q$<$0$, alors $(q^n)$ n'est ni strictement croissante, ni strictement décroissante.
Propriété
Si $u_0$>$0$, alors $(u_0×q^n)$ a le même sens de variation que $(q^n)$.
Si $u_0$<$0$, alors $(u_0×q^n)$ a le même sens de variation opposé à celui de $(q^n)$.
Exemple
Quel est le sens de variation de $(3×0,8^n)$?
Solution...Corrigé
Comme $0$<$0,8$<$1$, alors $(0,8^n)$ est strictement décroissante.
Et comme $3$>$0$, $(3×0,8^n)$ est également strictement décroissante.
Somme de termes d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$, alors,
pour tout naturel $n$, $u_0+u_1+u_2+...+u_{n}=u_0× {1-q^{n+1}}/{1-q}$.
Exemple
Calculer $S=1+2+2^2+2^3+...+2^8$.
Solution...Corrigé
Posons $u_n=2^n$. La suite $(u^n)$ est la suite géométrique de raison $2$ telle que $u_0=1$.
On a alors $S=u_0+u_1+u_2+...+u_{8}$.
Par conséquent: $S=1× {1-2^{8+1}}/{1-2}=511$
Limite de $(q^n)$
Si $q$>$1$, alors $\lim↙{n→+∞}(q^n)=+∞$.
Si $0$<$q$<$1$, alors $\lim↙{n→+∞}(q^n)=0$.
Opérations et limites
Pour tous réels $a$ et $b$
Si $\lim↙{n→+∞}(u_n)=+∞$, alors, si $a$>$0$, $\lim↙{n→+∞}(a×u_n+b)=+∞$, et si $a$<$0$, $\lim↙{n→+∞}(a×u_n+b)=-∞$.
Si $\lim↙{n→+∞}(u_n)=0$, alors, $\lim↙{n→+∞}(a×u_n+b)=b$.
Exemple
Déterminer $\lim↙{n→+∞}(-2×3^n-5)$.
Solution...Corrigé
Comme 3>1, on a: $\lim↙{n→+∞}(3^n)=+∞$.
Or -2<0. Donc $\lim↙{n→+∞}(-2×3^n-5)=-∞$.
Définition
Soit $a$ et $b$ sont deux réels fixés.
Une suite $(u_n)$ est arithmético-géométrique de paramètres $a$ et $b$ si et seulement si
elle satisfait à une relation de récurrence du type $u_{n}=a×u_n+b$.
Si $a=1$, alors une telle suite est arithmétique de raison $b$.
Si $b=0$, alors une telle suite est géométrique de raison $a$.
Propriété
L'étude d'une suite arithmético-géométrique de paramètres $a$ et $b$ se ramène à celle d'une suite géométrique de raison $a$.
Pour davantage de détails, lisez l'exemple ci-dessous!
Exemple
Au premier janvier de l'année 1950, la population d'une certaine ville V était de $100\, 000$ habitants.
Depuis, chaque année, 10% des habitants quittent la ville.
Pour lutter contre ce phénomène, l'état incite 3 000 personnes à s'y installer chaque année.
Soit $u_n$ la population au premier janvier de l'année 1950+$n$.
Ainsi, on a: $u_0=100\,000$.
Soit $v_n$ la suite définie par $v_n=u_n-30\,000$, pour tout naturel $n$.
1. Que dire de $(u_n)$?
2. Montrer que $(v_n)$ est géométrique.
3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout naturel $n$.
4. Déterminer $\lim↙{n→+∞}(u_n)$ et conclure.
Corrigé
1. On rappelle qu'une baisse de 10% est associée
à un coefficient multiplicateur égal à $1-10/100=0,90$. Ainsi, $P$ diminué de 10% devient $0,90×P$.
On constate ici que, pour tout naturel $n$, $u_{n+1}=0,90×u_n+3\,000$.
Par conséquent, $(u_n)$ est arithmético-géométrique de paramètres 0,90 et $3\,000$.
2. Notons que la suite géométrique $(v_n)$
aura pour raison le premier paramètre de $(u_n)$.
Soit $n$ un entier naturel; $v_{n+1}=u_{n+1}-30\,000=0,90×u_n+3\,000-30\,000=0,90×u_n-27\,000$.
Or: $0,90×v_n=0,90×(u_n-30\,000)=0,90×u_n-0,90×30\,000=0,90×u_n-27\,000$.
Donc: $v_{n+1}=0,90×v_n$, et ceci est vrai pour tout entier naturel $n$.
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0,90$.
Notons que son premier terme est $v_0=u_0-30\,000=100\,000-30\,000=70\,000$.
3. Comme $(v_n)$ est géométrique de raison $0,90$ et de premier terme $70\,000$,
on obtient: $v_n=70\,000×0,90^n$.
Par ailleurs, comme $v_n=u_n-30\,000$, on obtient: $v_n+30\,000=u_n$.
Ce qui donne finalement: $70\,000×0,90^n+30\,000=u_n$.
4. Comme $0$<$0,90$<$1$, on a: $\lim↙{n→+∞}(0,90^n)=0$.
Donc $\lim↙{n→+∞}(70\,000×0,90^n)=0$.
Donc $\lim↙{n→+∞}(70\,000×0,90^n+30\,000)=30\,000$.
Soit $\lim↙{n→+∞}(u_n)=30\,000$.
Par conséquent, la population de la ville V tend vers $30\,000$ habitants.