Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Algorithmes

Exercice 3

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même non aboutie, serait prise en compte lors de la notation

Soit $(u_n)$ la suite définie:
par la relation de récurrence $u_{n+1}=0,5×u_n$
et par son premier terme $u_0=100$.

On considère un programme associé à l'algorithme suivant:

Lire $N$
$U$ ← 0,5
Pour $I$ allant de 1 à $ N$
   $U$ ← $100×U$
Fin du Pour
Afficher $N$

1. Modifier 3 lignes de cet algorithme pour qu'il permette d'obtenir la valeur de $u_n$ pour tout entier naturel $n$ saisi par l'utilisateur.

2. On définit la somme $S_n=u_0+u_1+u_2+...+u_n$ pour tout entier naturel $n$.
On note que $S_0=100$, $S_1=150$, $S_2=175$, ...etc...
On cherche un algorithme permettant d'obtenir la valeur de la somme $S_n$ pour tout entier naturel $n$.
Parmi les 3 algorithmes suivants, un seul convient.
Lequel est-ce? (inutile de justifier)
Expliquer pourquoi les 2 autres algorithmes ne conviennent pas.

Algorithme 1

Lire $N$
$S$ ← 0
$U$ ← 100
$I$ ← 0
Tant que $I≤N$
   $S$ ← $S+U$
   $U$ ← $0,5×U$
   $I$ ← $I$+1
Fin du Pour
Afficher $S$

Algorithme 2

Lire $N$
$S$ ← 0
$U$ ← 100
$I$ ← 0
Tant que $I≤N$
   $U$ ← $0,5×U$
   $S$ ← $S+U$
   $I$ ← $I$+1
Fin du Pour
Afficher $S$

Algorithme 3

Lire $N$
$U$ ← 100
$I$ ← 0
Tant que $I≤N$
   $U$ ← $U+0,5×U$
   $I$ ← $I$+1
Fin du Pour
Afficher $U$

3. Proposer l'algorithme d'un programme qui ne contient pas de boucle, et qui permet d'obtenir la valeur de $S_n=u_0+u_1+u_2+...+u_n$ pour tout entier naturel $n$ saisi par l'utilisateur.

Solution...

Corrigé

1. Algorithme modifié:
Lire $N$
$U$ ← 100 (Noter le 100 à la place de 0,5)
Pour $I$ allant de 1 à $ N$
   $U$ ← $0,5×U$ (Noter le 0,5 à la place de 100)
Fin du Pour
Afficher $U$ (Noter le $U$ à la place de $N$)

2. L'algorithme correct est le premier.

Le second algorithme ne convient pas, car, par exemple, pour $N=0$, il devrait afficher 100, mais il affichera 50.
Le troisième algorithme ne convient pas, car,par exemple, pour $N=0$, il devrait afficher 100, mais il affichera 150.

3. Il est clair que la suite $(u_n)$ est géométrique de raison 0,5 et de premier terme $u_0=100$.
On obtient donc la formule explicite:
$S_n=u_0+u_1+u_2+...+u_n=100×{1-0,5^{n+1}}/{1-0,5}={100}/{0,5}×(1-0,5^{n+1})=200×(1-0,5^{n+1})$
et cette égalité est valide pour tout entier naturel $n$.

D'où l'algorithme suivant:

Lire $N$
$S$ ← $200×(1-0,5^{N+1})$
Afficher $S$

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