Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Lois à densité

Exercice 5

Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.
Il est prévu que l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.
Sur un parcours joignant une ville située à $160$ km, on suppose que l'autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries suit une loi normale d'espérance $μ=200$ et d'écart-type $σ=40$.

  1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ?
  2. La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifier votre réponse.
  3. On sait qu'une voiture a déjà parcouru $140$ km. Quelle est la probabilité qu'elle ne fasse pas plus de $150$ km?
  4. Il semble possible d'améliorer la régularité dans la qualité de fabrication des batteries. Cette amélioration entraine une diminution de la valeur de $σ$.
    Quelle valeur de $σ$ (arrondie au km) faut-il atteindre pour que l'autonomie d'une batterie soit supérieure ou égale à 192 km avec une probabilité de 0,975.
Solution...
Corrigé
  1. Soit X la variable aléatoire donnant l'autonomie (en km). On cherche: $p(X\text"<"160)$.
    A la calculatrice, on obtient: $p(X\text"<"160)≈0,159$.

  2. On cherche: $p(X≥320)$.
    A la calculatrice, on obtient: $p(X≥320)≈0,00135$.
    La probabilité cherchée n'est pas supérieure à 0,01.

  3. On cherche: $p_{140≤X}(X≤150)$.
    Or: $p_{140≤X}(X≤150)={p((140≤X) ∩ (X≤150))}/{p(140≤X)}$.
    Soit: $p_{140≤X}(X≤150)={p(140≤X≤150)}/{p(140≤X)}$.
    A la calculatrice, on obtient: $p_{140≤X}(X≤150)≈{0,03884}/{0,93319}≈0,042$

  4. On cherche $σ$ tel que $p(X\text">"192)=0,975$, soit: $p(X≤192)=0,025$.
    A la calculatrice, on obtient: $σ≈4$.

    La probabilité de 0,975 est particulière et l'on peut retrouver la valeur de $σ$ autrement!
    Pour $X=N(μ;σ)$, par symétrie de la densité par rapport à la droite d'équation $x=μ$, il est clair que: $p(X\text"<"μ-2σ)= p(μ+2σ\text"<"X)={1-p(μ-2σ≤X≤μ+2σ)}/{2}$.
    Et chacun sait que: $p(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0,95$.
    Donc, en particulier: $p(X\text"<"μ-2σ)≈{1-0,95}/{2}≈0,025$.
    Or on cherche $σ$ tel que $p(X\text"<"192)=0,025$.
    D'où: $μ-2σ≈192$, soit: $200-2σ≈192$, et par là: ${200-192}/{2}≈σ$, soit: $4≈σ$.

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