Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Intégrales

Exercice 5

Dans cet exercice, les primitives ne sont utiles qu'à la dernière question
Soit $f$ définie par $f(x)=0,5 e^{2x-3}+1$.
$f$ est représentée dans un repère orthogonal par la courbe $C$ ci-dessous.

fig4
  1. Pourquoi $f$ est-elle positive et continue sur $\ℝ$ ?
  2. On admet que la valeur moyenne $m$ de $f$ sur $[0;2]$ vaut environ 1,33.
    Interpréter graphiquement.
  3. Déterminer la valeur moyenne $m$ de $f$ sur $[0;2]$ par un calcul utilisant une primitive.
Solution...

Corrigé

  1. La fonction $f$ est dérivable, par là, elle est donc continue.
    On sait que $e^{2x-3}>0$. De plus $0,5>0$. Donc $0,5 e^{2x-3}>0$.
    Par conséquent: $0,5 e^{2x-3}+1>1$. Et $f$ est donc strictement positive.
  2. La fonction $f$ étant continue et positive sur $[0;2]$, $$∫_{0}^2 f(t)dt$$ est l'aire située entre $C$, l'axe des abscisses, les droites d'équation $x=0$ et $x=2$.
    Cette aire est la même que celle du rectangle de côtés $m$ et $2-0=2$.
fig5

3. $$m=1/{2-0}∫_0^2 f(t)dt=1/2∫_0^2 (0,5 e^{2x-3}+1) dx=1/2∫_0^2 (1/4 2 e^{2x-3}+1) dx$$ .
Soit: $$m=1/2[1/4 e^{2x-3}+x]_0^2=1/2((1/4 e^{2×2-3}+2)-(1/4 e^{2×0-3}+0)$$
Soit: $$m=1/2(1/4 e+2-1/4 e^{-3})≈1,33$$

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