Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Fonction logarithme népérien

Exercice 7

Soit $\C$ la courbe représentative de $f(x)=3\ln x-x^2+4x$.

Déterminer une équation de $d$, tangente à $C$ en 2.
Présenter cette équation sous la forme $y=ax+\ln b$,
où $a$ est un réel quelconque, et $b$ un réel strictement positif.

Après avoir étudié la convexité de $f$, montrer que:
pour tout $x$ strictement positif, on a: $\ln {x^3}/{8e}≤x^2-2,5x$.

Solution...

Corrigé

On a $f\,'(x)=3{1}/{x}-2x+4$.
$d$ a pour équation $y=f(x_0)+f\,'(x_0)(x-x_0)$.
ici: $x_0=2$,
$f(x_0)=3\ln 2-2^2+4×2=3\ln 2-4+8=3\ln 2+4$.
$f\,'(x_0)=3{1}/{2}-2×2+4=1,5-4+4=1,5$.
D'où l'équation de $d$: $y=3\ln 2+4+1,5(x-2)$.
Soit: $y=3\ln 2+4+1,5x-3$, soit: $y=1,5x+3\ln 2+1$.
Soit: $y=1,5x+\ln 2^3+\ln e$, soit: $y=1,5x+\ln 8+\ln e$.
Soit: $y=1,5x+\ln (8e)$.
L'équation de la tangente $d$ est bien sous la forme demandée avec $a=1,5$ et $b=8e$.

Pour étudier la convexité de $f$, nous déterminons le signe de $f"$.
$f"(x)=3{-1}/{x^2}-2$.
Or $x^2\text">"0$ (carré d'un réel non nul), et donc $3{-1}/{x^2}\text"<"0$.
Et par là: $3{-1}/{x^2}-2\text"<"-2$, et donc: $f"(x)\text"<"0$.
Par conséquent, $f$ est concave.
Donc $\C$ est en dessous de ses tangentes, et en particulier de $d$.
Par conséquent: pour tout $x\text">"0$, on a: $f(x)≤1,5x+\ln (8e)$.
Soit: $3\ln x-x^2+4x≤1,5x+\ln (8e)$.
Donc: $\ln x^3-\ln (8e)≤x^2-4x+1,5x$.
Donc: $\ln {x^3}/{8e}≤x^2-2,5x$.

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