Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Fonction logarithme népérien

Exercice 9

Remarque: la fonction ln n'intervient éventuellement qu'à la dernière question!
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même non aboutie, serait prise en compte lors de la notation
La suite $(u_n)$ est définie par $u_n=-28×0,6^n+35$ pour tout entier naturel $n$.

1. Déterminer $\lim↙{n→+∞}(u_n)$.

2. La variable N contient un entier naturel $n$. On considère alors l'algorithme suivant:

$S$ ← 0
Pour $I$ allant de 0 à $ N$
   $N$ ← $-28×0,6^N+35$
Fin du Pour

Corriger 2 lignes de l'algorithme proposé pour que, à la fin de son exécution, la variable S contienne la valeur de la somme $u_0+u_1+...+u_n$.

3.a. On considère l'algorithme suivant:

$U$ ← 7
$N$ ← 0
Tant que $U>34$
   $U$ ← $N+$1
   $U$ ← $-28×0,6^N+35$
Fin du Tant que

Corriger 2 lignes de l'algorithme proposé pour que, à la fin de son exécution, la variable N contienne la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle les termes de la suite $(u_n)$ sont strictement supérieurs à 34.

3.b. Que suffirait-il de démontrer au sujet de la suite $(u_n)$ pour être certain que la valeur de $n$ fournie par cet algorithme est bien la valeur cherchée?

3.c. Démontrer votre proposition.

4.a. Déterminer la valeur de la somme $S=u_0+u_1+...+u_{20}$.

4.b. Résoudre l'inéquation $-28×0,6^n+35>34$, où $n$ est un entier naturel.

Solution...

Corrigé

1. Comme 0<0,6<1, on a: $\lim↙{n→+∞}(0,6^n)=0$.
Donc $\lim↙{n→+∞}(u_n)=-28×0+35=35$.

2. Voici un l'algorithme correct:

$S$ ← 0
Pour $I$ allant de 0 à $ N$
   $S$ ← $S-28×0,6^I+35$
(Noter le $S$ à la place du $N$, le $S$ devant le $-28$, et l'exposant $I$ à la place de $N$)
Fin du Pour

3.a. Voici un l'algorithme correct:

$U$ ← 7
$N$ ← 0
Tant que $U≤34$ (Noter le sens de l'inégalité)
   $N$ ← $N+$1 (Noter le $N$ à la place du $U$)
   $U$ ← $-28×0,6^N+35$
Fin du Tant que

3.b. Il suffirait de démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

3.c. Comme $0<0,6<1$, la suite géométrique $(0,6^n)$ est strictement décroissante.
Or $-28<0$, et par là, la suite géométrique $(-28×0,6^n)$ est strictement croissante.
Et finalement, la suite $(u_n)$ est également strictement croissante.

4.a. $S=u_0+u_1+...+u_{20}$
Soit: $S=(-28×0,6^0+35)+(-28×0,6^1+35)+(-28×0,6^2+35)...+(-28×0,6^{20}+35)$
On regroupe les termes. Les premiers termes sont ceux d'une suite géométrique. Les seconds sont une somme de 21 fois le nombre 35.
On obtient: $S=-28×0,6^0-28×0,6^1-28×0,6^2-...-28×0,6^{20}+35×21$
Soit: $S=-28×{1-0,6^{21}}/{1-0,6}+35×21$
Soit: $S≈-69,998+735$
Soit: $S≈665,002$


4.b. Appelons (1) l'inéquation: $-28×0,6^n+35>34$
(1)$⇔-28×0,6^n>34-35⇔-28×0,6^n>-5⇔0,6^n<{-1}/{-28}$
On remarque le changement de sens dans l'inégalité car $-28<0$
On obtient ensuite: (1)$⇔0,6^n<{1}/{28}$
Pour isoler l'inconnue $n$, nous allons utiliser la fonction logarithme népérien.
On obtient alors: (1)$⇔\ln(0,6^n)<\ln({1}/{28})⇔n\ln(0,6)<\ln({1}/{28})$
Soit: (1)$⇔n>{\ln({1}/{28})}/{\ln(0,6)}$
On remarque le changement de sens dans l'inégalité car $\ln(0,6)<0$
Comme ${\ln({1}/{28})}/{\ln(0,6)}≈6,52$, l'ensemble des solutions est l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à 7.

Autre méthode: Résoudre (1), c'est chercher l'ensemble des entiers naturels $n$ vérifiant $u_n>34$.
Par essais successifs, on obtient: $u_6≈33,7$ et $u_7≈34,2$.
On constate que $u_6$<34<$u_7$. Et comme la suite $(u_n)$ est strictement croissante, il s'en suit que tous les $u_n$ sont strictement supérieurs à 34 à partir de $n=7$.

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