Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Suites

Exercice 1

Un capital de $1\,000$ euros est placé à intérêts composés au taux annuel de 5%.
Soit $u_n$ le capital disponible (en euros) au bout de $n$ années. Ainsi, $u_0=1\,000$.
1.a. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout naturel $n$.
1.b. Qu'en déduire concernant la suite $(u_n)$?
1.c. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
1.d. Donner le sens de variation de $(u_n)$ ainsi que sa limite.
2.a. Ecrire l'algorithme d'un programme permettant de déterminer la plus petite valeur $n_0$ telle que $u_{n_0}>2\,000$.
2.b. Programmer votre calculatrice et donner la valeur de $n_0$ proposée.

Solution...
Corrigé

1.a. Pour tout naturel $n$: $u_{n+1}=u_n+{5}/{100}×u_n=(1+{5}/{100})×u_n=1,05×u_n$.

1.b. Par conséquent, la suite $(u_n)$ est géométrique de raison 1,05 de premier terme $u_0=1\,000$.

1.c. Et par là, pour tout naturel $n$: $u_n=1\,000× 1,05^n$.

1.d. Comme $1$<$1,05$, alors $(1,05^n)$ est strictement croissante.
Et comme $1\,000$>$0$, $(u_n)$ est également strictement croissante.
Par ailleurs:
Comme 1,05>1, on a: $\lim↙{n→+∞}(1,05^n)=+∞$.
Or $1\,000$>$0$. Donc $\lim↙{n→+∞}(u_n)=+∞$.

2.a. Nous proposons deux algorithmes possibles.
A la fin de chacun d'eux, la variable N contient la valeur $n_0$ cherchée.

Le premier utilise
la formule de récurrence.

N ← 0
U ← $1\,000$
Tant que U$≤2\,000$
   U ← U$× 1,05$
   N ← N+1
Fin du Tant que

Le second utilise
la formule explicite.

N ← 0
Tant que $1\,000× 1,05^N≤2\,000$
   N ← N+1
Fin du Tant que

2.b. Exemples de programmes utilisant la formule explicite.
La dernière ligne de ces programmes (qui n'apparaît pas dans les algorithmes précédents) permet d'afficher la valeur finale de N.

Pour une Casio:
$0→N$
While $1\,000× 1,05^N≤2\,000$
$N+1→N$
WhileEnd
N

Pour une TI:
$0→N$
While $1\,000× 1,05^N≤2\,000$
$N+1→N$
End
Disp N


Les deux programmes donnent une valeur de N égale à 15.

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