Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Suites

Exercice 2

Au mois de janvier 2000, le loyer payé par Isidore s'élève à $300$ euros.
Soit $u_n$ le loyer payé (en euros) au bout de $n$ mois. Ainsi, $u_0=300$.
On suppose que, pour tout naturel $n$, on a: $u_n=300× 1,002^n$.
1.a. Qu'en déduire concernant la suite $(u_n)$?
1.b. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout naturel $n$.
1.c. De combien, en pourcentage, augmente le loyer chaque mois.
1.d. Donner le sens de variation de $(u_n)$ ainsi que sa limite.
2.a. Ecrire l'algorithme d'un programme permettant de déterminer la plus petite valeur $n_0$ telle que $u_{n_0}>400$.
2.b. Programmer un tel programme sur votre calculatrice et donner la valeur de $n_0$ proposée.
3. Combien Isidore a-t-il dépensé en loyers du premier janvier 2000 au 31 décembre 2013?

Solution...

Corrigé

1.a. Pour tout naturel $n$: $u_n=300× 1,002^n$.
On reconnait ici la formule explicite donnant le terme de rang $n$ d'une suite géométrique de raison 1,002 de premier terme $u_0=300$.

1.b. Par conséquent, Pour tout naturel $n$: $u_{n+1}=1,002×u_n$.

1.c. Le coefficient multiplicateur est $1,002=1+{0,2}/{100}$, et par là, le loyer augmente chaque mois de 0,2%.

1.d. Comme $1$<$1,002$, alors $(1,002^n)$ est strictement croissante.
Et comme $300$>$0$, $(u_n)$ est également strictement croissante.
Par ailleurs:
Comme 1,002>1, on a: $\lim↙{n→+∞}(1,002^n)=+∞$.
Or $300$>$0$. Donc $\lim↙{n→+∞}(u_n)=+∞$.

2.a. Nous proposons deux algorithmes possibles.
A la fin de chacun d'eux, la variable N contient la valeur $n_0$ cherchée.

Le premier utilise
la formule de récurrence.

N ← 0
U ← $300$
Tant que U$≤400$
   U ← U$× 1,002$
   N ← N+1
Fin du Tant que

Le second utilise
la formule explicite.

Affecter à N la valeur 0
Tant que $300× 1,002^N≤400$
   N ← N+1
Fin du Tant que

2.b. Exemples de programmes utilisant la formule de récurrence.
La dernière ligne de ces programmes (qui n'apparaît pas dans les algorithmes précédents) permet d'afficher la valeur finale de N.

Pour une Casio:
$0→N$
$300→U$
While $U≤400$
$U× 1,002→U$
$N+1→N$
WhileEnd
N

Pour une TI:
$0→N$
$300→U$
While $U≤400$
$U× 1,002→U$
$N+1→N$
End
Disp N


Les deux programmes donnent une valeur de N égale à 144.

3. Le mois de janvier 2000 correspond à $n=0$.
Le mois de décembre 2000 correspond à $n=11$.
Le mois de décembre 2001 correspond à $n=11+1×12=23$.
Le mois de décembre 2013 correspond à $n=11+13×12=167$.
On cherche donc la somme $S=u_0+u_1+u_2+...+u_167$.
Et comme $(u_n)$ est géométrique de raison 1,002 de premier terme $u_0=300$, on a:
$S=u_0× {1-1,002^{167+1}}/{1-1,002}=300× {1-1,002^{168}}/{-0,002}≈59\,830,43$.
Pendant les 14 ans considérés, Isidore a dépensé $59\,830,43$ euros en loyers.

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