Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Suites

Exercice 4

Le premier janvier de l'année 2000, James a placé $61\,000$ euros à la banque à intérêts composés au taux annuel de 2%.
Il retire immédiatement $1\,000$ euros, et réitère ce retrait de $1\,000$ euros chaque premier janvier suivant.
Soit $u_n$ le capital disponible (en euros) au bout de $n$ années au premier janvier après le retrait de $1\,000$ euros.
Ainsi, $u_0=60\,000$.
1.a. Expliquer pourquoi, pour tout naturel $n$, on a: $u_{n+1}=1,02u_n-1\,000$ .
1.b. Qu'en déduire concernant la suite $(u_n)$?
2. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout naturel $n$, par $v_n=u_n-50\,000$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 1,02 et de premier terme $v_0=10\,000$.
3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout naturel $n$.
4. Déterminer $\lim↙{n→+∞}(u_n)$.
5.a. Donner le sens de variation de $(v_n)$.
5.b. Soit $n$ un entier naturel. Montrer que $v_{n+1}-v_n=u_{n+1}-u_n$, puis montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
6.a. Ecrire l'algorithme d'un programme permettant de déterminer la plus petite valeur $n_0$ telle que $u_{n_0}>65\,000$.
6.b. Programmer un tel programme sur votre calculatrice et donner la valeur de $n_0$ proposée.

Solution...
Corrigé

1.a. Chaque année, le capital $u_n$ augmente de 2%.
Il devient alors: $u_n+{2×u_n}/{100}=u_n(1+0,02)=1,02u_n$.
Par ailleurs, chaque premier janvier, James retire de son capital une somme de $1\,000$ euros.
Le capital devient alors: $1,02u_n-1\,000$.
Par conséquent, pour tout naturel $n$, on a: $u_{n+1}=1,02u_n-1\,000$.

1.b. La suite $(u_n)$ est donc arithmético-géométrique de paramètres $a=1,02$ et $b=-1\,000$.

2. La suite $(v_n)$ est définie, pour tout naturel $n$, par $v_n=u_n-50\,000$.
Soit $n$ un entier naturel; $v_{n+1}=u_{n+1}-50\,000=(1,02u_n-1\,000)-50\,000=1,02u_n-51\,000$.
Or: $1,02v_n=1,02×(u_n-50\,000)=1,02×u_n-1,02×50\,000=1,02u_n-51\,000$.
Donc: $v_{n+1}=1,02×v_n$, et ceci est vrai pour tout entier naturel $n$.
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison 1,02.
Notons que son premier terme est $v_0=u_0-50\,000=60\,000-50\,000=10\,000$.

3. De la réponse précédente, on déduit que: $v_n=v_0×1,02^n$.
Soit: $v_n==10\,000×1,02^n$.
Par ailleurs, comme $v_n=u_n-50\,000$, on a: $v_n+50\,000=u_n$.
Et, en remplaçant $v_n$ par son expression, on obtient finalement: $10\,000×1,02^n+50\,000=u_n$.

4. Comme 1<1,02, on a: $\lim↙{n→+∞}(1,02^n)=+∞$.
Et comme $10\,000$>$0$, on obtient: $\lim↙{n→+∞}(10\,000×1,02^n)=+∞$.
Et par là: $\lim↙{n→+∞}(u_n)=+∞$.

5.a. Comme 1<1,02, la suite $(1,02^n)$ est strictement croissante.
Et comme $10\,000$>$0$, la suite $(10\,000×1,02^n)$ est également strictement croissante.
Soit: la suite $(v_n)$ est strictement croissante.

5.b. Soit $n$ un entier naturel; $u_{n+1}-u_n=v_{n+1}+50\,000-(v_n+50\,000)=v_{n+1}+50\,000-v_n-50\,000=v_{n+1}-v_n$.
Donc les suites $(v_n)$ et $(u_n)$ ont même sens de variation.
Et comme $(v_n)$ est strictement croissante, on en déduit que $(u_n)$ est également strictement croissante.

6.a.

Nous proposons deux algorithmes possibles..
A la fin de chacun d'eux, la variable N contient la valeur $n_0$ cherchée.

Le premier utilise
la formule de récurrence.

N ← 0
U ← $60\,000$
Tant que U$≤65\,000$
   U ← U$× 1,02-1\,000$
   N ← N+1
Fin du Tant que

Le second utilise
la formule explicite.

N ← 0
Tant que $10\,000×1,02^N+50\,000≤65\,000$
   N ← N+1
Fin du Tant que

6.b. Exemples de programmes utilisant la formule explicite.
La dernière ligne de ces programmes (qui n'apparaît pas dans les algorithmes précédents) permet d'afficher la valeur finale de N.

Pour une Casio:
$0→N$
While $10\,000× 1,02^N+50\,000≤65\,000$
$N+1→N$
WhileEnd
N

Pour une TI:
$0→N$
While $10\,000× 1,02^N+50\,000≤65\,000$
$N+1→N$
End
Disp N


Les deux programmes donnent une valeur de N égale à 21.
(on a: $u_{20}≈64\,859$ et $u_{21}≈65\,157$)

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