Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

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Exercice 5

Le chiffre d'affaire de l'entreprise de textiles Lincoton s'élève à $653\,000$ euros pour l'année 2010.
Pour l'année 2011, il tombe à $525\,500$, puis à $423\,000$ en 2012.

1. Déterminer la baisse relative du chiffre d'afffaire entre 2010 et 2011, puis entre 2011 et 2012 (les résultats seront arrondis à 0,01% près).

2. On admet que le chiffre d'affaire de l'entreprise Lincoton baissera de $19,5$% chaque année à partir de l'année 2012.
Soit $u_n$ le chiffre d'affaire de l'entreprise Lincoton en l'année $2012+n$.
Ainsi, $u_0=423\,000$.
Soit $n$ un entier naturel. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
Qu'en déduire concernant la suite $(u_n)$?
Exprimer alors $u_n$ en fonction de $n$ pour tout naturel $n$.

3. Déterminer $\lim↙{n→+∞}(u_n)$.

4. Donner le sens de variation de $(u_n)$.

5.a. L'entreprise n'est plus viable si son chiffre d'affaire est strictement inférieur à $100\,000$ euros.
Pourquoi existe-t-il un entier naturel $n_0$ tel que, si $n≥n_0$, alors $u_n$<$100\,000$?

5.b. On a: $u_7≈92\,664$. Expliquez pourquoi, si $n$>$7$, alors $u_n$<$100\,000$.

6.a. Georgette propose ci-dessous l'algorithme d'un programme permettant de déterminer la plus petite valeur $n_0$ telle que $u_{n_0}$<$100\,000$.
Cette valeur est contenue dans N à la fin de l'algorithme.

$N$ ← 0
U ← $423\,000$
Tant que ...
   U la valeur ...
   $N$ ← N+1
Fin du Tant que

Complétez les deux lignes incomplètes pour le programme fonctionne.

6.b. Donner sans justifier la valeur de N obtenue par un tel programme.

7.a. Georgette modifie son algorithme pour calculer la somme des chiffres d'affaires sur N années.
Cette valeur est contenue dans S à la fin de l'algorithme.

S ← $0$
Pour $K$ allant de 0 à $N-1$
   S ← ...
Fin du Pour

Complétez la ligne incomplète pour le programme fonctionne.

7.b. Montrer que $u_0+u_1+u_2+...+u_{N-1}=2\,169\,230,769(1-0,805^N)$.
En déduire la valeur de S produite par le programme précédent pour $N=7$.

Solution...
Corrigé

1. ${VA-VD}/{VD}×100={525\,500-653\,000}/{653\,000}×100≈-19,53$
La baisse relative du chiffre d'afffaire entre 2010 et 2011 est d'environ 19,53%.
${VA-VD}/{VD}×100={423\,000-525\,500}/{525\,500}×100≈-19,51$
La baisse relative du chiffre d'afffaire entre 2011 et 2012 est d'environ 19,51%.

2. Une baisse de $19,5$% est associée à un coefficient multiplicateur de $1-{19,5}/{100}=0,805$.
Par conséquent, on obtient: $u_{n+1}=0,805×u_n$, pour tout $n$ entier naturel.
Et par là, la suite $(u_n)$ est géométrique de raison 0,805.
Et donc: pour tout naturel $n$, on a: $u_n=u_0×0,805^n$.
Soit: $u_n=423\,000×0,805^n$.

3. On a: $0$<$00,805$<$1$, et donc: $\lim↙{n→+∞}(0,805^n)=0$.
Et donc: $\lim↙{n→+∞}(423\,000×0,805^n)=0$, soit: $\lim↙{n→+∞}(u_n)=0$.

4. On a: $0$<$0,805$<$1$, et par là, la suite $(0,805^n)$ est strictement décroissante.
Or $423\,000$>$0$. Donc la suite $(u_n)$ est également strictement décroissante.

5.a. On a vu que $\lim↙{n→+∞}(u_n)=0$.
C'est la raison pour laquelle il existe un entier naturel $n_0$ tel que, si $n≥n_0$, alors $u_n$<$100\,000$.

5.b. $(u_n)$ est strictement décroissante.
Donc, en particulier, si $n$>$7$, alors $u_n$<$u_7$, soit $u_n$<$92\,665$, et par là: $u_n$<$100\,000$.

6.a. Voici l'algorithme de Georgette complété;
il utilise la formule de récurrence $u_{n+1}=0,805×u_n$:

$N$ ← 0
U ← $423\,000$
Tant que U$≥100\,000$
   U ← U$×0,805$
   $N$ ← N+1
Fin du Tant que

Une autre façon de compléter l'algorithme est donnée ci-dessous;
elle utilise la formule explicite $u_{n}=423\,000×0,805^n$:

$N$ ← 0
U ← $423\,000$
Tant que U$≥100\,000$
   U ← $423\,000×0,805^{N+1}$
   $N$ ← N+1
Fin du Tant que

6.b. Le programme donnera finalement une valeur de N égale à 7.
Remarque: on a: $u_6≈115\,111$ et $u_7≈92\,664$, l'entreprise est encore viable en 2018, mais elle ne l'est plus en 2019.

7.a. Voici le second algorithme de Georgette complété:

S ← $0$
Pour $K$ allant de 0 à $N-1$
   S ← S+$423\,000×0,805^K$
Fin du Pour

Remarque: dans une boucle Pour $K$ allant de..., il est inutile d'augmenter $K$ de 1; cela se fait "automatiquement".

7.b. $u_0+u_1+u_2+...+u_{N-1}=u_0{1-0,805^{N-1+1}}/{1-0,805}=423\,000{1-0,805^N}/{0,195}=2\,169\,230,769(1-0,805^N)$.
Pour $N=7$, cela donne: $u_0+u_1+u_2+...+u_6=2\,169\,230,769(1-0,805^6)≈1\,578\,918,99$.
C'est la valeur de S obtenue par le programme précédent pour $N=7$.
La somme des chiffres d'affaires sur 7 années s'élève à $1\,578\,918,99$ euros.

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