Les Maths en terminale ES

L'essentiel pour le bac

Suites

Exercice 6

Le nombre d'adhérents des clubs GymCool s'élève à $90\,000$ pour l'année 2001.
Chaque année, 2,5% des membres des clubs quittent GymCool, mais $1\,200$ nouvelles personnes décident d'adhérer.

1. Soit $u_n$ le nombre d'adhérents chez GymCool pour l'année $2000+n$ (où $n$ est un entier naturel non nul).
Ainsi, $u_1=90\,000$.
Soit $n$ un entier naturel non nul. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
Qu'en déduire concernant la suite $(u_n)$?

2. Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n=u_n-48\,000$ pour tout $n$ entier naturel non nul.
Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,975, puis prouver que, pour tout naturel $n$ non nul, on a: $v_n=42\,000×0,975^{n-1}$.
En déduire que, pour tout naturel $n$ non nul, on a: $u_n=43\,076,92308×0,975^n+48\,000$.

3. Le directeur financier de GymCool affirme que, si l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit de la même façon, le nombre de membres passera un jour en dessous de $50\,000$ .
A-t-il raison? Justifier.

4. Chaque membre paye 100 euros de cotisation par an. Recopier et compléter l'algorithme ci-desous pour que, à la fin de son exécution, la variable S contienne la somme totale des cotisations perçues par GymCool de l'année 2001 à l'année 2017 (les années 2001 et 2017 sont comprises).

$N$ ← 1
$S$ ← 0
U ← $90\,000$
Tant que ...
   S ← ...
   U ← $0,975×U+1\,200$
   $N$ ← N+1
Fin du Tant que
S ← ...


Solution...
Corrigé

1. Une baisse de $2,5$% est associée à un coefficient multiplicateur de $1-{2,5}/{100}=0,975$.
Par ailleurs, $1\,200$ nouvelles personnes décident d'adhérer chaque année.

Par conséquent, on obtient: $u_{n+1}=0,975×u_n+1\,200$, pour tout $n$ entier naturel non nul.
Et par là, la suite $(u_n)$ est arithmético-géométrique de paramètres 0,975 et $1\,200$.

2. Soit $n$ un entier naturel non nul. On a: $v_n=u_n-48\,000$.
Donc: $v_{n+1}=u_{n+1}-48\,000$
Donc: $v_{n+1}=0,975×u_n+1\,200-48\,000$    (d'après le 1.)
Soit: $v_{n+1}=0,975×u_n-46\,800$
Or: $0,975×v_n= 0,975×(u_n-48\,000)=0,975×u_n-0,975×48\,000$
Soit: $0,975×v_n=0,975×u_n-46\,800$
Comme $v_{n+1}=0,975×u_n-46\,800$ et $0,975×v_n=0,975×u_n-46\,800$,
on obtient finalement: $v_{n+1}=0,975×v_n$.
Et ceci est vrai pour tout naturel $n$ non nul.
Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,975.
Par conséquent, pour tout naturel $n$ non nul, on a: $v_n=v_1×0,975^{n-1}$.
On notera l'utilisation de $v_1$ et non pas de $v_0$ ici.
Or: $v_1=u_1-48\,000=90\,000-48\,000=42\,000$.
Donc: $v_n=42\,000×0,975^{n-1}$.

On obtient alors: $u_n=v_n+48\,000=42\,000×0,975^{n-1}+48\,000$.
Or: $43\,076,92308×0,975^n+48\,000=43\,076,92308×0,975×0,975^{n-1}+48\,000=42\,000×0,975^{n-1}+48\,000$.
Donc: $u_n=43\,076,92308×0,975^n+48\,000$.
Et c'est vrai pour tout naturel $n$ non nul

3. On a: $0$<$0,975$<$1$, et donc: $\lim↙{n→+∞}(0,975^n)=0$.
Et donc: $\lim↙{n→+∞}(v_n)=43\,076,92308×0+48\,000=48\,000$.
Donc le nombre de membres en l'année $2000+n$ devient aussi proche de $48\,000$ pourvu que $n$ soit suffisamment grand.
Donc il passera un jour en dessous de $50\,000$ .
Donc le directeur financier de GymCool a raison.

4. Voici l'algorithme complété.

$N$ ← 1
$S$ ← 0
U ← $90\,000$
Tant que $N<18$
   S ← $S+U$
   U ← $0,975×U+1\,200$
   $N$ ← N+1
Fin du Tant que
S ← $S×100$

Réduire...