Les Maths en Première ES

Des exercices calibrés pour vous aider à réussir vos devoirs

Dérivation

Exercice 3

Voici un exercice difficile, mais utile pour réussir certains devoirs de première.
Néanmoins, il est improbable qu'il soit posé en épreuve commune.
Quant au bac, les élèves de terminale ont des moyens plus rapides pour déterminer $f\,'(5)$!

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=√{2x-1}$.
Déterminer son ensemble de définition $\D_f$.
Soit $h$ un réel non nul tel que $5+h$ appartienne à $\D_f$.
Montrer que le taux d'accroissement de $f$ entre $5$ et $5+h$ vaut ${2}/{√{9+2h}+3}$ (penser à utiliser une quantité conjuguée).
Montrer que $f\,'(5)$ existe et vaut ${1}/{3}$.

Solution...

Corrigé

Une expression sous un radical est positive.
On doit avoir $2x-1≥0$. Soit $x≥0,5$. Donc $\D_f=[0,5;+\∞[$

Soit $r(h)$ le taux d'accroissement cherché.
Ona: $r(h)={f(5+h)-f(5)}/{5+h-5}={√{2(5+h)-1}-√{2×5-1}}/{h}={√{10+2h-1}-√{9}}/{h}={√{9+2h}-3}/{h}$.
On multiplie dénominateur et numérateur par la quantité conjuguée de $√{9+2h}-3$ qui est $√{9+2h}+3$
$r(h)={(√{9+2h}-3)(√{9+2h}+3)}/{h(√{9+2h}+3)}={(√{9+2h})^2-3^2)}/{h(√{9+2h}+3)}={(9+2h-9)}/{h(√{9+2h}+3)}={2h}/{h(√{9+2h}+3)}={2}/{√{9+2h}+3}$.

On détermine alors si $f\,'(5)$ existe.
C'est le cas si $\lim↙{h→0}r(h)$ existe, et on a alors $f\,'(5)=\lim↙{h→0}r(h)$
On a: $\lim↙{h→0}r(h)={2}/{√{9+2×0}+3}={2}/{√{9}+3}={2}/{6}={1}/{3}$
Par conséquent, $f\,'(5)$ existe et vaut ${1}/{3}$.

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