Les Maths en Première ES

Des exercices calibrés pour vous aider à réussir vos devoirs

Fluctuation

Exercice 1

Un casino vient d'acquérir une machine à sous. Selon le constructeur de la machine, la probabilité qu'un joueur gagne est $p=0,03$.
Pendant la première soirée, la machine a fonctionné 300 fois.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'utilisateur de la machine a gagné.

  1. Quelle est la loi de X?
  2. Donner la formule donnant $p(X=16)$, puis déterminer la valeur de $p(X=16)$.
  3. Rappeler l'intervalle de fluctuation approché au seuil de 95% vu en seconde.
    Les conditions requises pour utiliser cet intervalle de fluctuation sont-elles réunies?
  4. Déterminer le plus petit entier $a$ tel que $p(X≤ a)\text">"0,025$.
  5. Déterminer le plus petit entier $b$ tel que $p(X≤ b)≥0,975$.
  6. Que dire de $p(a≤X≤b)$?
  7. Pendant la soirée, la machine a laissé gagner son utilisateur 16 fois.
    Peut-on considérer que la probabilité avancée par le constructeur est correcte?

Solution...
Corrigé
  1. X est une binomiale de paramètres $n=300$ et $p=0,03$.
    On note: $X=B(300;0,03)$.
  2. $p(X=16)= (\table 300; 16)0,03^{16}0,97^{300-16}≈0,0103$
  3. L'intervalle de fluctuation approché au seuil de 95% vu en seconde est $[p-{1}/{√n};p+{1}{√n}]$
    Ici: $n=300$ et $p=0,03$.
    Les 2 conditions à vérifier sont: $n≥25$ et $0,2≤p≤0,8$ .
    La seconde condition requise pour utiliser l'intervalle de fluctuation vu en seconde n'est pas vérifiée.
  4. A la calculatrice: $p(0≤ X≤3)≈0,0199$, $p(0≤ X≤4)≈0,0524$. Donc $a=4$.
  5. A la calculatrice: $p(0≤ X≤14)≈0,9610$, $p(0≤ X≤15)≈0,9797$. Donc $b=15$.
  6. $p(a≤X≤b)$ vaut au moins 0,95.
    Preuve (non exigible): $a$ est le plus petit entier tel que $p(X≤ a)\text">"0,025$,
    donc $p(X\text"<"a)≤0,025$, et donc $-p(X\text"<"a)≥-0,025$.
    De plus $p(X≤ b)≥0,975$.
    Et comme $p(a≤X≤b)=p(X≤b)-p(X\text"<"a)$,
    on obtient: $p(a≤X≤b)≥0,975-0,025$, soit $p(a≤X≤b)≥0,95$.
    Cela signifie que, lorsque le casino a mis la machine en marche, il savait avec une probabilité supérieure à 95% que, si la machine fonctionnait 300 fois, alors le nombre X de gagnants serait compris entre $a=4$ et $b=15$.
    Evidemment, cela suppose que la probabilité $p=0,03$ avancée par le constructeur soit exacte!

  7. Or $X=16$. Cette valeur n'est pas comprise dans $[a;b]$.
    Donc on peut rejeter l'hypothèse que la probabilité qu'un joueur gagne est $p=0,03$ ( le risque de se tromper est inférieur à $5\%$).
    La probabilité avancée par le constructeur est sans doute incorrecte.
    Comme 16 est au dessus de l'intervalle de fluctuation de X, la probabilité qu'un joueur gagne est certainement supérieure à $3\%$.
Réduire...

Copyright 2013 - maths-es.com - Toute reproduction interdite - Tous droits réservés.