Les Maths en Première ES

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Probabilités

Exercice 2

Un joueur utilise une machine à sous ARNAK qui fonctionne de la façon suivante.
Le joueur mise 1 euro.
3 cas se présentent: soit le joueur perd sa mise, soit il la récupère, soit il gagne 100 euros (ce qui correspond à un gain algébrique de 99 euros).
La probabilité que le joueur perde est égale à 0,7.
La probabilité qu'il récupère son euro vaut $a$.
La probabilité qu'il gagne 100 euros vaut $b$.
1.a. Soit $X$ le gain algébrique du joueur. Déterminer $a$ et $b$ pour que, en moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur perde $0,5$ euro par partie.
1.b. Comparer cette machine ARNAK à la machine BANDYMANCHO, pour laquelle l'espérance de gain d'un joueur est de $-0,25$ euro par partie.
2. Le joueur fait deux parties sur la machine ARNAK.
Soit Y son gain algébrique sur deux parties.
Déterminer la loi de Y ainsi que son espérance.

Solution...
Corrigé

1.a. On a:    $p(X=-1)=0,7$    et    $p(X=0)=a$    et    $p(X=99)=b$.
On sait que:    $p(X=-1)+p(X=0)+p(X=99)=1$   (1).
D'autre part, en moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur perd $0,5$ euro par partie.
Par conséquent, l'espérance de X vaut $-0,5$ euros.
On a donc:    $E(X)=-0,5$   (2).

L'égalité (1) donne: $0,7+a+b=1$, et par là: $a=0,3-b$.
L'égalité (2) donne: $0,7×(-1)+a×0+b×99=-0,5$.
Et par là: $-0,7+99b=-0,5$
Et donc: $b={0,2}/{99}={1}/{495}≈0,0020$
Et par là, en reportant dans (1): $a=0,3-{1}/{495}={295}/{990}≈0,2980$.
Finalement:    $b={1}/{495}≈0,002$    et    $a={295}/{990}≈0,298$.

1.b. En moyenne, sur un grand nombre de parties, un joueur perd 0,5 euros par partie sur la machine ARNAK, et 0,25 euros par partie sur la machine BANDYMANCHO.
Il perd le double sur la machine ARNAK.
Notons que, dans tous les cas, le joueur est perdant!

2. Les deux parties sont indépendantes. Pour chacune d'elle, il y a trois éventualités:
$X=-1$,    $X=0$    et    $X=99$, dont les probabilités sont:
$p(X=-1)=0,7$,    $p(X=0)≈0,298$    et    $p(X=99)≈0,002$.
On peut construire l'arbre de probabilités suivant:
fig3
La probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de ces résultats.
On obtient alors: $p(Y=-2)=0,7×0,7=0,49$    $p(Y=-1)=0,7×a+a×0,7=1,4×{295}/{990}={413}/{990}≈0,42$
$p(Y=0)=a×a={295^2}/{990^2}={87025}/{980100}≈0,089$    $p(Y=98)=0,7×b+b×0,7≈1,4×{1}/{495}={14}/{4950}≈0,0028$
$p(Y=99)=a×b+b×a={590}/{490050}≈0,0012$    $p(Y=198)=b×b={1}/{245025}≈0,0000041$

L'espérance de Y vérifie l'égalité:
$E(Y)=p(Y=-2)×(-2)+p(Y=-1)×(-1)+p(Y=0)×0+p(Y=98)×98+p(Y=99)×99+p(Y=198)×198$
Soit: $ E(Y)=0,49×(-2)+{413}/{990}×(-1)+{87025}/{980100}×0+{14}/{4950}×98+{590}/{490050}×99+{1}/{245025}×198=-1$
En moyenne, sur un grand nombre de parties doubles, le joueur perd $1$ euro par partie double.
Autre méthode: on utilise la linéarité de l'espérance.
On a: $Y=X+X=2X$, et par là: $E(Y)=E(2X)=2E(X)=2×(-0,5)=-1$
Cette seconde méthode n'est pas au programme de première ES.

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