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Suites

Exercice 2

  1. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n={n}/{2^n}$ pour tout naturel $n$ strictement supérieur à 1.
    Déterminer $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
    Conjecturer le sens de variation de $(u_n)$, puis démontrer votre conjecture.
  2. Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n={n}/{n+2}$ pour tout naturel $n$.
    Montrons que $(w_n)$ est strictement croissante en déterminant le signe de $w_{n+1}-w_n$ pour tout entier naturel $n$.
  3. Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_3=0$ et $v_{n+1}=v_n+4-2n$ pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à 3.
    Déterminer $v_4$ et $v_5$.
    Conjecturer le sens de variation de $(v_n)$, puis démontrer votre conjecture.
  4. Soit $(r_n)$ la suite définie par $r_n=(-1)^nn$ pour tout naturel $n$.
    Démontrer que $(r_n)$ n'est pas monotone.
Solution...
Corrigé
  1. $u_2={2}/{2^2}={2}/{4}=0,5$, $u_3={3}/{2^3}={3}/{8}=0,375$ et $u_4={4}/{2^4}={4}/{16}=0,25$.
    Conjecture: $(u_n)$ est strictement décroissante.
    Démonstration: $(u_n)$ est définie par la relation explicite $u_n={n}/{2^n}$, mais il est difficile d'étudier le sens de variation de la fonction ${x}/{2^x}$. Par conséquent, nous recherchons plutôt le signe de $u_{n+1}-u_n$.
    Soit $n$ un naturel.
    On calcule:
    $u_{n+1}-u_n={n+1}/{2^{n+1}}-{n}/{2^n}={n+1}/{2^n×2^1}-{n}/{2^n}$
    Soit: $u_{n+1}-u_n={n+1}/{2^n×2}-{n×2}/{2^n×2}={n+1-2n}/{2^n×2}$
    Soit: $u_{n+1}-u_n={-n+1}/{2^n×2}$
    Comme $n>1$, on a: $-n<-1$, et donc $-n+1<-1+1$, soit $-n+1<0$.
    Par ailleurs, $2^n×2>0$.
    Donc le quotient ${-n+1}/{2^n×2}$ est strictement négatif.
    Donc, pour tout naturel $n$, $u_{n+1}-u_n$<$0$, soit: $u_{n+1}$<$u_n$.
    Par conséquent, $(u_n)$ est strictement décroissante.

  2. Soit $n$ un entier naturel.
    $w_{n+1}-w_n={n+1}/{n+1+2}-{n}/{n+2}={n+1}/{n+3}-{n}/{n+2}$
    Soit: $w_{n+1}-w_n={(n+1)(n+2)}/{(n+3)(n+2)}-{n(n+3)}/{(n+2)(n+3)}={(n+1)(n+2)-n(n+3)}/{(n+3)(n+2)}$
    Soit: $w_{n+1}-w_n={n^2+2n+1n+2-n^2-3n}/{(n+3)(n+2)}$
    Soit: $w_{n+1}-w_n=={2}/{(n+3)(n+2)}$
    Or, puisque $n$ est un entier naturel, il est clair que le dénominateur est strictement positif.
    Le numérateur l'est également.
    Donc, pour tout naturel $n$, $w_{n+1}-w_n>0$, soit: $w_{n+1}>w_n$.
    Par conséquent, $(w_n)$ est strictement croissante.

  3. $(v_n)$ n'est pas définie par une relation explicite mais par une relation de récurrence! . Par conséquent, nous recherchons le signe de $v_{n+1}-v_n$
    Soit $n$ un naturel supérieur ou égal à 3. On calcule:
    $v_{n+1}-v_n=v_n+4-2n-v_n=-2n+4$
    Or $-2x+4$ est une fonction affine, qui s'annule $x=2$, et dont le coefficient directeur $-2$ est strictement négatif.
    Elle est donc strictement positive pour $x<2$, et strictement négative pour $x>2$.
    Donc, puisque $n$ est supérieur ou égal à 3, $-2n+4<0$.
    Par conséquent, pour tout $n$ naturel supérieur ou égal à 3, $v_{n+1}-v_n$<$0$, soit: $v_{n+1}$<$v_n$.
    Par conséquent, $(v_n)$ est strictement décroissante.

  4. Soit $(r_n)$ la suite définie par $r_n=(-1)^nn$ pour tout naturel $n$.
    Pour démontrer que $(r_n)$ n'est pas monotone, il suffit de donner des contre-exemples. $r_0=(-1)^0×0=0$.
    $r_1=(-1)^1×1=-1$
    $r_2=(-1)^2×2=2$
    Comme $r_0$>$r_1$, la suite $(r_n)$ n'est pas croissante.
    Comme $r_1$<$r_2$, la suite $(r_n)$ n'est pas décroissante.
    Finalement, la suite $(r_n)$ n'est pas monotone!
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