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Suites

Exercice 3

  1. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=n^4+n^2+n+7$ pour tout naturel $n$.
    Déterminer le sens de variation de $(u_n)$.
  2. Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n={n}/{n+2}$ pour tout naturel $n$.
    Déterminer le sens de variation de $(v_n)$.
Solution...
Corrigé
  1. La détermination du signe de $u_{n+1}-u_n$ semble difficile. Comme $(u_n)$ est définie par une relation explicite $u_n=f(n)$, voyons si la fonction $f$ est monotone sur $[0;+∞[$
    On a: $u_n=f(n)$ pour tout naturel $n$, avec $f(x)=x^4+x^2+x+7$.
    $f'(x)=4x^3+2x+1$. On note alors que, si $x>0$, alors $f'(x)>0$.
    Donc $f$ est strictement croissante sur $[0;+∞[$.
    Et par là, $(u_n)$ est également strictement croissante.

  2. La détermination du signe de $v_{n+1}-v_n$ semble difficile. Elle est faisable (voir la suite $(w_n)$ de l'exercice 2). Mais comme $(v_n)$ est définie par une relation explicite $v_n=f(n)$, voyons si la fonction $f$ est monotone sur $[0;+∞[$
    On a: $v_n=f(n)$ pour tout naturel $n$, avec $f(x)={x}/{x+2}$.
    $f'(x)={1×(x+2)-x×1}/{(x+2)^2}={x+2-x}/{(x+2)^2}={2}/{(x+2)^2}$.
    On note alors que $f'(x)$ est un quotient dont le numérateur, 2, est strictement positif, et dont le dénominateur est un carré strictement positif (excepté pour la valeur interdite $-2$ où il serait nul).
    Donc, on a $f'(x)>0$, et en particulier sur $[0;+∞[$.
    Donc $f$ est strictement croissante sur $[0;+∞[$.
    Et par là, $(v_n)$ est également strictement croissante.

    Il existe une façon astucieuse d'aboutir au même résultat.
    On a: $f(x)={x}/{x+2}={x+2-2}/{x+2}={x+2}/{x+2}-{2}/{x+2}=1-2{1}/{x+2}$.
    Or $x+2$ est strictement croissante sur $[0;+∞[$ (et elle y reste de signe constant).
    Donc ${1}/{x+2}$ est strictement décroissante sur $[0;+∞[$.
    Donc $-2{1}/{x+2}$ est strictement croissante sur $[0;+∞[$.
    Et donc $f$ est strictement croissante sur $[0;+∞[$.
    Et par là, $(v_n)$ est également strictement croissante.

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